一座建筑物呈圆柱体形状，顶部覆盖着一个半球形圆顶。圆顶的底面直径等于建筑物总高度的$\frac{2}{3}$。如果建筑物内包含$67 \frac{1}{21} \mathrm{~m}^{3}$的空气，求建筑物的高度。

已知

一座建筑物呈圆柱体形状，顶部覆盖着一个半球形圆顶。

圆顶的底面直径等于建筑物总高度的$\frac{2}{3}$。

建筑物内包含$67 \frac{1}{21} \mathrm{~m}^{3}$的空气。

求解

我们需要求出建筑物的高度。

解答

设半球形圆顶的半径为 $r$，建筑物的总高度为 $h$。

圆顶的底面直径 $=\frac{2}{3} \times$ 总高度

这意味着，

$2r= \frac{2}{3}h$

$r= \frac{h}{3}$

设圆柱部分的高度为 $H$。

因此，

$H = h - \frac{h}{3}$

$=\frac{2}{3}h$ 

建筑物内部空气的体积 = 圆顶内部空气的体积 + 圆柱部分内部空气的体积

$=\frac{2}{3} \pi r^3 + \pi r^2 H$

$=\frac{2}{3} \pi (\frac{h}{3})^{3}+\pi(\frac{h}{3})^{2}(\frac{2}{3} h)$

$=\frac{8}{81} \pi h^{3}$

建筑物内部空气的体积 $= 67 \frac{1}{21} \mathrm{~m}^{3}$

因此，

$\frac{8}{81} \pi h^{3}=\frac{1408}{21}$

$\Rightarrow h^{3}=\frac{1408 \times 81 \times 7}{21 \times 8 \times 22}$

$\Rightarrow h^{3}=216$

$\Rightarrow h^{3}=(6)^{3}$

$\Rightarrow h=6 \mathrm{~m}$

建筑物的高度为 $6\ m$。

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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