一艘船的甲板上有一人，距离水面 \( 10 \mathrm{~m} \)。他观察到一座悬崖顶部的仰角为 \( 45^{\circ} \)，底部的俯角为 \( 30^{\circ} \)。计算悬崖到船的距离和悬崖的高度。

已知

一艘船的甲板上有一人，距离水面 \( 10 \mathrm{~m} \)。他观察到一座悬崖顶部的仰角为 \( 45^{\circ} \)，底部的俯角为 \( 30^{\circ} \)。

要求

我们需要找到悬崖到船的距离和悬崖的高度。

解答

设 $CD$ 为悬崖，且人在船 $AB$ 的甲板上 $B$ 点。

从 $B$ 点观察到悬崖 $CD$ 底部 $D$ 的俯角为 $30^{o}$，从 $B$ 点观察到悬崖 $CD$ 顶部 $C$ 的仰角为 $45^{o}$。

设悬崖的高度为 $h\ m$。

从图中，

$\angle ADB =30^{o}, AB=10\ m$ 且  $\angle CBE=45^{o}$

这意味着，

$ED=AB=10\ m$ 且 $CE=h-10\ m$

在 $\vartriangle CBE$ 中，

$tan 45^{o} =\frac{CE}{BE} =\frac{h-10}{x}$

$1 =\frac{h-10}{x}$

$x=h-10$.........(i)

在 $\vartriangle ABD$ 中，

$tan 30^{o}=\frac{AB}{AD} =\frac{10}{x}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{10}{x}$

$x=10\sqrt{3}\ m$

将 $x=10\sqrt{3}$ 代入公式 (i)，得到，

$10\sqrt{3}=h-10$

$h=10+10\sqrt{3}\ m$

$h=10(1.732+1)\ m$

$h=10(2.732) = 27.32\ m$

$\Rightarrow x=27.32-10=17.32\ m$

因此，悬崖到船的距离为 $17.32 \ m$，悬崖的高度为 $27.32\ m$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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