下图显示了铁路隧道的横截面。圆形部分的半径\( OA \)为\( 2 \mathrm{~m} \)。如果\( \angle A O B=90^{\circ} \)，计算横截面的周长。"\n

已知

圆形部分的半径\( OA \)为\( 2 \mathrm{~m} \)。

\( \angle A O B=90^{\circ} \)。

要求： 

我们必须找到横截面的周长。

解答

隧道圆形部分的半径 $= 2\ m$

这意味着，

$OA = OB = 2\ m$ 且 $\angle AOB = 90^o$

作 $CD\ \perp\ AB$

$D$ 是 $AB$ 的中点

在直角三角形 $AOB$ 中，根据勾股定理，

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OB}^{2}$

$=2^{2}+2^{2}$

$=4+4$

$=8$

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\sqrt{8}$

$=\sqrt{4 \times 2}$

$=2 \sqrt{2} \mathrm{~m}$

$\mathrm{AD}=\mathrm{DB}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

$\mathrm{OD}^{2}=\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{AD}^{2}$

$=2^{2}-(\sqrt{2})^{2}$

$=4-2$

$=2$

$\Rightarrow \mathrm{OD}=\sqrt{2} \mathrm{~m}$

大弧 $ACB$ 的长度$=2 \pi r \times \frac{3}{4}$

$=2 \times \pi \times 2 \times \frac{3}{4}$

$=3 \pi$

因此，

横截面的总周长 $=$ 弧 $ACB$ 的长度 $+\mathrm{AB}$

$=(3 \pi+2 \sqrt{2})$

横截面的总周长为 $(3 \pi+2 \sqrt{2})$。

教程点

更新于： 2022年10月10日

91 次浏览

开启你的 职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习