求半径为\( 14 \mathrm{~cm} \)的圆的劣弓形的面积，已知对应的扇形的圆心角为\( 60^{\circ} . \)

已知

圆的半径 $=14\ cm$。

对应的扇形的圆心角 $=60^{\circ}$。

要求

我们必须找到圆的劣弓形的面积。

解答

设$AB$为圆的弦，$O$为圆心。

在$\Delta \mathrm{AOB}$中，

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=r$

这意味着，

$\Delta \mathrm{AOB}$是等腰三角形。

设$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=\theta$

在$\Delta \mathrm{OAB}$中， 

$\angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{OAB}+\angle \mathrm{OBA}=180^{\circ}$

$\Rightarrow 60^{\circ}+\theta+\theta=180^{\circ}$

$\Rightarrow 2 \theta=120^{\circ}$

$\Rightarrow \theta=60^{\circ}$

因此，

$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=60^{\circ}$

这意味着，

$\triangle \mathrm{AOB}$是等边三角形。

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB}=14 \mathrm{~cm}$

$\Delta OAB$的面积$=\frac{\sqrt{3}}{4}(14)^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 196$

$=49 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$

扇形$\mathrm{OBAO}$的面积$=\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} $

$=\frac{22}{7} \times \frac{60^{\circ}}{360} \times 196$

$=\frac{22 \times 2 \times 14}{6}$

$=\frac{22 \times 14}{3}$

$=\frac{308}{3} \mathrm{~cm}^{2}$

劣弓形的面积 = 扇形$OBAO$的面积 - $\Delta OAB$的面积

$=(\frac{308}{3}-49 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}$

劣弓形的面积为$(\frac{308}{3}-49 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

84 次浏览

启动您的职业生涯

完成课程获得认证

开始学习