求下列整数对的最大公约数 (HCF)，并将其表示为它们的线性组合：1288 和 575

已知：1288 和 575。

要求：这里我们需要找到给定整数对的最大公约数 (HCF)，并将其表示为线性组合。


解答

使用欧几里得除法算法求HCF:

使用欧几里得引理得到：
  • $1288\ =\ 575\ \times\ 2\ +\ 138$   ...(i)

现在，考虑除数 575 和余数 138，并应用除法引理得到
  • $575\ =\ 138\ \times\ 4\ +\ 23$   ...(ii)

现在，考虑除数 138 和余数 23，并应用除法引理得到
  • $138\ =\ 23\ \times\ 6\ +\ 0$   ...(iii)

余数已变为零，我们无法继续进行。

因此，1288 和 575 的最大公约数 (HCF) 是此阶段的除数，即 23。


将 HCF 表示为 963 和 657 的线性组合:

$23\ =\ 575\ –\ 138\ \times\ 4$   {来自等式 (ii)}

$23\ =\ 575\ –\ [1288\ –\ 575\ \times\ 2]\ \times\ 4$   {来自等式 (i)}

$23\ =\ 575\ –\ 1288\ \times\ 4\ +\ 575\ \times\ 8$

$\mathbf{23\ =\ 575\ \times\ 9\ –\ 1288\ \times\ 4}$


所以，1288 和 575 的最大公约数 (HCF) 是 23，它可以表示为 $23\ =\ 575\ \times\ 9\ –\ 1288\ \times\ 4$。

更新于： 2022年10月10日

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