求以下两整数的最大公约数（HCF），并将其表示为这两个整数的线性组合
506 和 1155

已知：506 和 1155

要求：我们需要找到给定两整数的最大公约数（HCF），并将其表示为一个线性组合。


解答

使用欧几里得除法算法求 HCF:

使用欧几里得引理得到： 
  • $1155\ =\ 506\ \times\ 2\ +\ 143$   ...(i)

现在，考虑除数 506 和余数 143，并应用除法引理得到
  • $506\ =\ 143\ \times\ 3\ +\ 77$   ...(ii)

现在，考虑除数 143 和余数 77，并应用除法引理得到
  • $143\ =\ 77\ \times\ 1\ +\ 66$   ...(iii)

现在，考虑除数 77 和余数 66，并应用除法引理得到
  • $77\ =\ 66\ \times\ 1\ +\ 11$   ...(iv)

现在，考虑除数 66 和余数 11，并应用除法引理得到
  • $66\ =\ 11\ \times\ 6\ +\ 0$   ...(v)

余数已变为零，我们无法继续进行。 

因此，506 和 1155 的最大公约数（HCF）是此时此刻的除数，即11。


将 HCF 表示为 506 和 1155 的线性组合:

$11\ =\ 77\ –\ 66\ \times\ 1$   {来自公式 (iv)}

$11\ =\ 77\ –\ [143\ –\ 77\ \times\ 1]\ \times\ 1$   {来自公式 (iii)}

$11\ =\ 77\ –\ 143\ +\ 77\ \times\ 1$

$11\ =\ 77\ \times\ 2\ –\ 143$

$11\ =\ [506\ –\ 143\ \times\ 3]\ \times\ 2\ –\ 143$   {来自公式 (ii)}

$11\ =\ 506\ \times\ 2\ –\ 143\ \times\ 6\ –\ 143$

$11\ =\ 506\ \times\ 2\ –\ 143\ \times\ 7$

$11\ =\ 506\ \times\ 2\ –\ [1155\ –\ 506\ \times\ 2]\ \times\ 7$   {来自公式 (i)}

$11\ =\ 506\ \times\ 2\ –\ 1155\ \times\ 7\ +\ 506\ \times\ 14$

$\mathbf{11\ =\ 506\ \times\ 16\ –\ 1155\ \times\ 7}$


所以，506 和 1155 的最大公约数（HCF）是 11，它可以表示为 $11\ =\ 506\ \times\ 16\ –\ 1155\ \times\ 7$。

更新于： 2022年10月10日

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