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求以下两整数的最大公约数(HCF),并将其表示为这两个整数的线性组合
506 和 1155


已知:506 和 1155

要求:我们需要找到给定两整数的最大公约数(HCF),并将其表示为一个线性组合。


解答

使用欧几里得除法算法求 HCF:

使用欧几里得引理得到: 
  • 1155 = 506 × 2 + 143   ...(i)

现在,考虑除数 506 和余数 143,并应用除法引理得到
  • 506 = 143 × 3 + 77   ...(ii)

现在,考虑除数 143 和余数 77,并应用除法引理得到
  • 143 = 77 × 1 + 66   ...(iii)

现在,考虑除数 77 和余数 66,并应用除法引理得到
  • 77 = 66 × 1 + 11   ...(iv)

现在,考虑除数 66 和余数 11,并应用除法引理得到
  • 66 = 11 × 6 + 0   ...(v)

余数已变为零,我们无法继续进行。 

因此,506 和 1155 的最大公约数(HCF)是此时此刻的除数,即11


将 HCF 表示为 506 和 1155 的线性组合:

11 = 77  66 × 1   {来自公式 (iv)}

11 = 77  [143  77 × 1] × 1   {来自公式 (iii)}

11 = 77  143 + 77 × 1

11 = 77 × 2  143

11 = [506  143 × 3] × 2  143   {来自公式 (ii)}

11 = 506 × 2  143 × 6  143

11 = 506 × 2  143 × 7

11 = 506 × 2  [1155  506 × 2] × 7   {来自公式 (i)}

11 = 506 × 2  1155 × 7 + 506 × 14

11 = 506 × 16  1155 × 7


所以,506 和 1155 的最大公约数(HCF)是 11,它可以表示为 11 = 506 × 16  1155 × 7

更新于: 2022年10月10日

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