求以下两整数的最大公约数(HCF),并将其表示为这两个整数的线性组合
506 和 1155
已知:506 和 1155
要求:我们需要找到给定两整数的最大公约数(HCF),并将其表示为一个线性组合。
解答
使用欧几里得除法算法求 HCF:
使用欧几里得引理得到:
- 1155 = 506 × 2 + 143 ...(i)
现在,考虑除数 506 和余数 143,并应用除法引理得到
- 506 = 143 × 3 + 77 ...(ii)
现在,考虑除数 143 和余数 77,并应用除法引理得到
- 143 = 77 × 1 + 66 ...(iii)
现在,考虑除数 77 和余数 66,并应用除法引理得到
- 77 = 66 × 1 + 11 ...(iv)
现在,考虑除数 66 和余数 11,并应用除法引理得到
- 66 = 11 × 6 + 0 ...(v)
余数已变为零,我们无法继续进行。
因此,506 和 1155 的最大公约数(HCF)是此时此刻的除数,即11。
将 HCF 表示为 506 和 1155 的线性组合:
11 = 77 – 66 × 1 {来自公式 (iv)}
11 = 77 – [143 – 77 × 1] × 1 {来自公式 (iii)}
11 = 77 – 143 + 77 × 1
11 = 77 × 2 – 143
11 = [506 – 143 × 3] × 2 – 143 {来自公式 (ii)}
11 = 506 × 2 – 143 × 6 – 143
11 = 506 × 2 – 143 × 7
11 = 506 × 2 – [1155 – 506 × 2] × 7 {来自公式 (i)}
11 = 506 × 2 – 1155 × 7 + 506 × 14
11 = 506 × 16 – 1155 × 7
所以,506 和 1155 的最大公约数(HCF)是 11,它可以表示为 11 = 506 × 16 – 1155 × 7。
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