求以下一对整数的最大公约数 (HCF)，并将其表示为它们的线性组合
592 和 252

已知： 592 和 252

求解： 我们需要找到这对整数的最大公约数 (HCF)，并将其表示为线性组合。


解

使用欧几里得除法算法求 HCF:

使用欧几里得引理得到：
  • $592\ =\ 252\ \times\ 2\ +\ 88$   ...(I)

现在，考虑除数 252 和余数 88，并应用除法引理得到
  • $252\ =\ 88\ \times\ 2\ +\ 76$   ...(ii)

现在，考虑除数 88 和余数 76，并应用除法引理得到

  • $88\ =\ 76\ \times\ 1\ +\ 12$   ...(iii)

现在，考虑除数 76 和余数 12，并应用除法引理得到
  • $76\ =\ 12\ \times\ 6\ +\ 4$   ...(iv)

现在，考虑除数 12 和余数 4，并应用除法引理得到
  • $12\ =\ 4\ \times\ 3\ +\ 0$   ...(v)

余数变为零，我们无法继续进行。

因此，592 和 252 的 HCF 是此时此刻的除数，即4。


将 HCF 表示为 592 和 252 的线性组合:

$4\ =\ 76\ –\ 12\ \times\ 6$   {来自等式 (iv)}

$4\ =\ 76\ –\ [88\ –\ 76\ \times\ 1]\ \times\ 6$   {来自等式 (iii)}

$4\ =\ 76\ –\ 88\ \times\ 6 +\ 76\ \times\ 6$

$4\ =\ 76\ \times\ 7\ –\ 88\ \times\ 6$

$4\ =\ [252\ –\ 88\ \times\ 2]\ \times\ 7\ –\ 88\ \times\ 6$   {来自等式 (ii)}

$4\ =\ 252\ \times\ 7\ –\ 88\ \times\ 14\ –\ 88\ \times\ 6$

$4\ =\ 252\ \times\ 7\ –\ 88\ \times\ 20$

$4\ =\ 252\ \times\ 7\ –\ [592\ –\ 252\ \times\ 2]\ \times\ 20$   {来自等式 (i)}

$4\ =\ 252\ \times\ 7\ –\ 592\ \times\ 20\ +\ 252\ \times\ 40$

$\mathbf{4\ =\ 252\ \times\ 47\ –\ 592\ \times\ 20}$


因此，592 和 252 的最大公约数 (HCF) 是 4，它可以表示为 $4\ =\ 252\ \times\ 47\ –\ 592\ \times\ 20$。

更新于： 2022年10月10日

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