求以下一对整数的最大公约数 (HCF),并将其表示为它们的线性组合
592 和 252
已知: 592 和 252
求解: 我们需要找到这对整数的最大公约数 (HCF),并将其表示为线性组合。
解
使用欧几里得除法算法求 HCF:
使用欧几里得引理得到:
- 592 = 252 × 2 + 88 ...(I)
现在,考虑除数 252 和余数 88,并应用除法引理得到
- 252 = 88 × 2 + 76 ...(ii)
现在,考虑除数 88 和余数 76,并应用除法引理得到
- 88 = 76 × 1 + 12 ...(iii)
现在,考虑除数 76 和余数 12,并应用除法引理得到
- 76 = 12 × 6 + 4 ...(iv)
现在,考虑除数 12 和余数 4,并应用除法引理得到
- 12 = 4 × 3 + 0 ...(v)
余数变为零,我们无法继续进行。
因此,592 和 252 的 HCF 是此时此刻的除数,即4。
将 HCF 表示为 592 和 252 的线性组合:
4 = 76 – 12 × 6 {来自等式 (iv)}
4 = 76 – [88 – 76 × 1] × 6 {来自等式 (iii)}
4 = 76 – 88 × 6+ 76 × 6
4 = 76 × 7 – 88 × 6
4 = [252 – 88 × 2] × 7 – 88 × 6 {来自等式 (ii)}
4 = 252 × 7 – 88 × 14 – 88 × 6
4 = 252 × 7 – 88 × 20
4 = 252 × 7 – [592 – 252 × 2] × 20 {来自等式 (i)}
4 = 252 × 7 – 592 × 20 + 252 × 40
4 = 252 × 47 – 592 × 20
因此,592 和 252 的最大公约数 (HCF) 是 4,它可以表示为 4 = 252 × 47 – 592 × 20。
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