求连接点$( 1,\ -3)$和$( 4,\ 5)$的线段被$x$轴所分成的比？并求出该点在$x$轴上的坐标。

已知：连接点$( 1,\ -3)$和$( 4,\ 5)$的线段被$x$轴所分。

要求：求分成的比以及该点在x轴上的坐标。

设点$C( x,\ 0)$将连接点$A( 1,\ 3)$和B(4,5)的线段按k:1的比例分割。

利用分点公式，我们有：

$C(x, y)=(\frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n}, \frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n})$

$(x, 0)=(\frac{4k+1}{k+1}, \frac{5k+1(-3)}{k+1})$

$(x, 0)=(\frac{4k+1}{k+1}, \frac{5k-3)}{k+1})$

$\Rightarrow x=\frac{4k+1}{k+1}        .............( 1)$

以及 $\frac{5k-3}{k+1}=0$

$\Rightarrow5k-3=0$

$\Rightarrow5k -3=0$

$\Rightarrow k=\frac{3}{5}$  

将$k=\frac{3}{5}$代入$( 1)$，

$x=\frac{4(\frac{3}{5})+1}{(\frac{3}{5})+1}$

$x=\frac{\frac{17}{5}}{\frac{8}{5}}=\frac{17}{8}$

因此，分割比为$3:5$，分割点的坐标为$( x, 0)=( \frac{17}{8},\ 0)$