如果$\angle A$ 和 $\angle P$ 是锐角，且 $\tan A=\tan P$，则证明 $\angle A=\angle P$。

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已知

$\angle A$ 和 $\angle P$ 是锐角，且 $\tan A=\tan P$。

要求

我们需要证明 $\angle A=\angle P$。

解答：  

假设在直角三角形 $APC$ 中，$C$ 为直角，$tan\ A = tan\ P$。

我们知道，

在以 $C$ 为直角的直角三角形 $APC$ 中，

根据三角函数的定义，

$tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{PC}{AC}$

$tan\ P=\frac{对边}{邻边}=\frac{AC}{PC}$

这意味着，

$\tan A=\tan P$

$\Rightarrow \frac{PC}{AC}=\frac{AC}{PC}$

 $\Rightarrow PC \times PC=AC \times AC$

 $\Rightarrow PC^2 =AC^2$

$\Rightarrow PC = AC$

我们知道，

在三角形中，等边对等角。

因此，

$\angle A=\angle P$

证毕。