如果一个等差数列从首项开始的若干项的和为 116，已知数列为 25, 22, 19, …，求最后一项。

已知

一个等差数列从首项开始的若干项的和为 116，已知数列为 25, 22, 19, …。

要求

我们需要求出最后一项。

解答

这里 $a=25$ 且 $d=22-25=-3$

我们知道：

$S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$\Rightarrow 116=\frac{n}{2}[25 \times 2+(n-1)(-3)]$
$232=n(50-3 n+3)$

$232=(53-3 n) n$
$232=53 n-3 n^{2}$

$3 n^{2}-53 n+232=0$
$3 n^{2}-24 n-29 n+232=0$

$3 n(n-8)-29(n-8)=0$

$(n-8)(3 n-29)=0$
$n-8=0$ 或 $3n-29=0$

$n=8$ 或 $3 n=29$

$n=8$ 或 $n=\frac{29}{3}$，后者不成立

$\therefore$ 项数 $=8$

这意味着：

$l=a_{8}=a+(n-1) d=25+(8-1) \times (-3)$
$=25+7(-3)$

$=25-21$

$=4$

最后一项是 4。

教程点

更新于: 2022 年 10 月 10 日

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