在以下哪种情况下，形成的数字序列构成等差数列？真空泵每次抽掉气缸中剩余空气的$\frac{1}{4}$时，气缸中存在的空气量。

已知

真空泵每次抽掉气缸中剩余空气的$\frac{1}{4}$时，气缸中存在的空气量。

要求

我们必须检查上述信息形成的序列是否为等差数列。

解答

设气缸中存在的空气量为$1$。 第一次抽掉的空气量$=1\times\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

第一次抽掉空气后剩余的空气量$=1-\frac{1}{4}=\frac{1\times4-1}{4}=\frac{3}{4}$

第二次抽掉的空气量$=\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{16}$

第二次抽掉空气后剩余的空气量$=\frac{3}{4}-\frac{3}{16}=\frac{4\times3-3}{16}=\frac{9}{16}$

第三次抽掉的空气量$=\frac{9}{16}\times\frac{1}{4}=\frac{9}{64}$

第三次抽掉空气后剩余的空气量$=\frac{9}{16}-\frac{9}{64}=\frac{9\times4-9}{64}=\frac{27}{64}$

真空泵每次抽掉气缸中剩余空气的$\frac{1}{4}$时，气缸中存在的空气量构成以下序列：

$1, \frac{3}{4}, \frac{9}{16}, \frac{27}{64}, ........$

$\frac{3}{4}-1=\frac{-1}{4}$, $\frac{9}{16}-\frac{3}{4}=\frac{-3}{16}$

$\frac{-1}{4}≠\frac{-3}{16}$

因此，这些数字序列不构成等差数列。 

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更新于：2022年10月10日

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