设角\( \mathrm{ABC} \)的顶点位于圆外，且角的两边与圆相交于相等的弦\( \mathrm{AD} \)和\( \mathrm{CE} \)。证明\( \angle \mathrm{ABC} \)等于弦\( AC \)和\( DE \)在圆心处所对的角的差的一半。

已知

设角\( \mathrm{ABC} \)的顶点位于圆外，且角的两边与圆相交于相等的弦\( \mathrm{AD} \)和\( \mathrm{CE} \)。

要求

我们必须证明\( \angle \mathrm{ABC} \)等于弦\( AC \)和\( DE \)在圆心处所对的角的差的一半。

解答

$AD = CE$

我们知道，

三角形的外角等于两个内对角的和。

这意味着，在$\triangle BAE$中，

$\angle DAE = \angle ABC+\angle AEC$........(i)

$DE$在圆心处所对的角为$\angle DOE$，在圆的其余部分所对的角为$\angle DAE$。

这意味着，

$\angle DAE = \frac{1}{2}\angle DOE$.........(ii)

类似地，

$\angle AEC = \frac{1}{2}\angle AOC$..........(iii)

由(i)、(ii)和(iii)，我们得到，

$\frac{1}{2}\angle DOE = \angle ABC+\frac{1}{2}\angle AOC$

$\angle ABC =\frac{1}{2}(\angle DOE-\angle AOC)$ 

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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