设角ABC的顶点位于圆外,且角的两边与圆相交于相等的弦AD和CE。证明∠ABC等于弦AC和DE在圆心处所对的角的差的一半。
已知
设角ABC的顶点位于圆外,且角的两边与圆相交于相等的弦AD和CE。
要求
我们必须证明∠ABC等于弦AC和DE在圆心处所对的角的差的一半。
解答
AD=CE
我们知道,
三角形的外角等于两个内对角的和。
这意味着,在△BAE中,
∠DAE=∠ABC+∠AEC........(i)
DE在圆心处所对的角为∠DOE,在圆的其余部分所对的角为∠DAE。
这意味着,
∠DAE=12∠DOE.........(ii)
类似地,
∠AEC=12∠AOC..........(iii)
由(i)、(ii)和(iii),我们得到,
12∠DOE=∠ABC+12∠AOC
∠ABC=12(∠DOE−∠AOC)
证毕。
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