解析证明三角形两边中点连线等于第三边的一半。

待办事项

我们需要证明三角形两边中点连线等于第三边的一半。

解答

设 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3)$ 为 $\triangle ABC$ 的顶点。
设 $D$ 和 $E$ 分别为边 $AB$ 和 $AC$ 的中点。

这意味着，

$\mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$

$\mathrm{D}$ 的坐标为 $\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$

$\mathrm{E}$ 的坐标为 $\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$

边 $BC$ 的长度为 $\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$......(i)

边 $DE$ 的长度为 $\sqrt{\left(\frac{x_{1} +x_{3}}{2} -\frac{x_{1} +x_{2}}{2}\right)^{2} +\left(\frac{y_{1} +y_{3}}{2} -\frac{y_{1} +y_{3}}{2}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\frac{(x_1+x_3-x_1-x_2)^2}{4}+\frac{(y_1+y_3-y_1-y_2)^2}{4}}$

$=\sqrt{\frac{( x_{3} -x_{2})}{4}^{2} +\frac{( y_{3} -y_{2})}{4}^{2}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$

$=\frac{1}{2}BC$    (由 (i) 得)

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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