证明：如果一条直线平行于三角形的一条边，并与另外两边相交，那么这两边被分成比例线段。

待办事项

我们必须证明：如果一条直线平行于三角形的一条边，并与另外两边相交，那么这两边被分成比例线段。

解答

设$\triangle ABC$中，一条直线$DE$平行于$BC$，且交$AB$于$D$，交$AC$于$E$。

作图：连接$BE$、$CD$，并作$EF \perp AB$和$DG \perp AC$

$\frac{\operatorname{ar}(\triangle ADE)}{\operatorname{ar}(\triangle BDE)}=\frac{\frac{1}{2} \times AD \times EF}{\frac{1}{2} \times DB \times EF}$

$=\frac{AD}{DB}$.........(i)

类似地，

$\frac{\operatorname{ar}(\triangle ADE)}{\operatorname{ar}(\triangle DEC)}=\frac{\frac{1}{2} \times AE \times GD}{\frac{1}{2} \times EC \times GD}$

$=\frac{AE}{EC}$.............(ii)

$\triangle BDE$和$\triangle DEC$位于同一对平行线$DE$和$BC$之间，且底边相同为$DE$。

因此，

$\operatorname{ar}(\triangle BDE)=\operatorname{ar}(\triangle DEC)$..........(iii)

由(i)、(ii)和(iii)，我们得到，

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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