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法律研究证明存在一个值 $c(≠0)$，使得方程组
\( 6 x+3 y=c-3 \)
\( 12 x+c y=c \)
有无限多个解。求出这个值。
已知：
给定的方程组为
\( 6 x+3 y=c-3 \)
\( 12 x+c y=c \)
要求：
我们必须找到 $c$ 的值，使得给定的方程组有无限多个解。
解答
给定的方程组可以写成
$6x+3y-(c-3)=0$
$12x+cy-c=0$
二元一次方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。
上述方程组有无限多个解的条件是
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{c_{1}}{c_{2}} \ $
将给定的方程组与方程的标准形式进行比较，我们有：
$a_1=6, b_1=3, c_1=-(c-3)$ 以及 $a_2=12, b_2=c, c_2=-c$
因此，
$\frac{6}{12}=\frac{3}{c}=\frac{-(c-3)}{-c}$
$\frac{1}{2}=\frac{3}{c}=\frac{c-3}{c}$
$\frac{1}{2}=\frac{3}{c}$ 以及 $\frac{3}{c}=\frac{c-3}{c}$
$c=3\times2$ 以及 $3\times c=c \times(c-3)$
$c=6$ 以及 $3=c-3$
$c=6$ 以及 $c=3+3$
$c=6$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}=$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_{1}}{c_{2}}=$\frac{-(6-3)}{-6}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$
因此，当 $c=6$ 时，给定的方程组有无限多个解。
使得给定的方程组有无限多个解的 $c$ 的值为 $6$。
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