证明存在一个值 $c(≠0)$，使得方程组
$6 x+3 y=c-3$
$12 x+c y=c$
有无限多个解。求出这个值。

已知：

给定的方程组为

$6 x+3 y=c-3$
$12 x+c y=c$

要求：

我们必须找到 $c$ 的值，使得给定的方程组有无限多个解。

解答

给定的方程组可以写成

$6x+3y-(c-3)=0$
$12x+cy-c=0$

二元一次方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。

上述方程组有无限多个解的条件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

将给定的方程组与方程的标准形式进行比较，我们有：

$a_1=6, b_1=3, c_1=-(c-3)$ 以及 $a_2=12, b_2=c, c_2=-c$

因此，

$\frac{6}{12}=\frac{3}{c}=\frac{-(c-3)}{-c}$

$\frac{1}{2}=\frac{3}{c}=\frac{c-3}{c}$

$\frac{1}{2}=\frac{3}{c}$ 以及 $\frac{3}{c}=\frac{c-3}{c}$

$c=3\times2$ 以及 $3\times c=c \times(c-3)$

$c=6$ 以及 $3=c-3$

$c=6$ 以及 $c=3+3$

$c=6$

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=$\frac{-(6-3)}{-6}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$

因此，当 $c=6$ 时，给定的方程组有无限多个解。

使得给定的方程组有无限多个解的 $c$ 的值为 $6$。

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更新于： 2022年10月10日

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