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法律研究一个直角三角形的两条直角边长度差为\( 14 \mathrm{~cm} \)，三角形的面积为\( 120 \mathrm{~cm}^{2} \)。计算该三角形的周长。
已知
一个直角三角形的两条直角边长度差为\( 14 \mathrm{~cm} \)，三角形的面积为\( 120 \mathrm{~cm}^{2} \)。
要求
我们需要计算该三角形的周长。
解答
设直角三角形为 $ABC$，其中 $\angle B = 90^\circ$。
这意味着：
$AB-AC=14\ cm$......(i)
面积 $=120\ cm^2$
$\frac{1}{2}\times AB \times AC=120$
$AB \times AC=120\times2=240$.....(ii)
我们知道：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
因此：
$(AB+AC)^2=(AB-AC)^2+4AB.AC$
$(AB+AC)^2=(14)^2+4\times240$
$(AB+AC)^2=196+960$
$(AB+AC)^2=1156$
$(AB+AC)=\sqrt{1156}$
$(AB+AC)=34$.....(iii)
将 (i) 和 (iii) 相加，得到：
$AB+AC+AB-AC=34+14$
$2AB=48$
$AB=24$
$\Rightarrow AC=AB-14$
$=24-14$
$=10$
根据勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2$
$AC^2=(24)^2+(10)^2$
$=576+100$
$=676$
$\Rightarrow AC=\sqrt{676}$
$AC=26$
三角形的周长 $=AB+BC+AC$
$=24+10+26$
$=60\ cm$
三角形的周长为 $60\ cm$。
更新时间: 2022年10月10日
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