一个直角三角形的两条直角边长度差为$14 \mathrm{~cm}$，三角形的面积为$120 \mathrm{~cm}^{2}$。计算该三角形的周长。

已知

一个直角三角形的两条直角边长度差为$14 \mathrm{~cm}$，三角形的面积为$120 \mathrm{~cm}^{2}$。

要求

我们需要计算该三角形的周长。

解答

设直角三角形为 $ABC$，其中 $\angle B = 90^\circ$。

这意味着：
$AB-AC=14\ cm$......(i)
面积 $=120\ cm^2$

$\frac{1}{2}\times AB \times AC=120$

$AB \times AC=120\times2=240$.....(ii)

我们知道：

$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$

因此：

$(AB+AC)^2=(AB-AC)^2+4AB.AC$

$(AB+AC)^2=(14)^2+4\times240$

$(AB+AC)^2=196+960$

$(AB+AC)^2=1156$

$(AB+AC)=\sqrt{1156}$

$(AB+AC)=34$.....(iii)

将 (i) 和 (iii) 相加，得到：

$AB+AC+AB-AC=34+14$

$2AB=48$

$AB=24$

$\Rightarrow AC=AB-14$

$=24-14$

$=10$

根据勾股定理：

$AC^2=AB^2+BC^2$

$AC^2=(24)^2+(10)^2$

$=576+100$

$=676$

$\Rightarrow AC=\sqrt{676}$

$AC=26$

三角形的周长 $=AB+BC+AC$

$=24+10+26$

$=60\ cm$

三角形的周长为 $60\ cm$。

教程点

更新时间: 2022年10月10日

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