一座塔矗立在水平地面上，当太阳高度角为 $30^{\circ}$ 时，发现塔影的长度比太阳高度角为 $45^{\circ}$ 时长 $2 x$ 米。证明塔的高度为 $x(\sqrt{3}+1)$ 米。

已知

一座塔矗立在水平地面上，当太阳高度角为 $30^{\circ}$ 时，发现塔影的长度比太阳高度角为 $45^{\circ}$ 时长 $2 x$ 米。

要求

我们必须证明塔的高度为 $x(\sqrt{3}+1)$ 米。

解答：  

设 $AB$ 为塔的高度，$CA$ 为当太阳高度角为 $30^{\circ}$ 时的塔影，$DA$ 为当太阳高度角为 $45^{\circ}$ 时的塔影。

从图中可知，

$\mathrm{CD}=2x \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BCA}=30^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=45^{\circ}$

设塔的高度为 $\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，当太阳高度角为 $45^{\circ}$ 时的塔影长度为 $\mathrm{DA}=y \mathrm{~m}$。

这意味着，

$\mathrm{CA}=2x+y \mathrm{~m}$

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{DA}$

$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{y}$

$\Rightarrow 1=\frac{h}{y}$

$\Rightarrow h=y \mathrm{~m}$.........(i)

类似地，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{CA}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{2x+y}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{2x+y}$

$\Rightarrow 2x+y=h \sqrt3 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow 2x+h=h\sqrt3 \mathrm{~m}$            [根据 (i)]

$\Rightarrow h(\sqrt3-1)=2x \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=\frac{2x}{\sqrt3-1} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=\frac{2x(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=\frac{2x(\sqrt3+1)}{3-1} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=\frac{2x(\sqrt3+1)}{2} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=x(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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