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法律研究一座塔矗立在水平地面上，当太阳高度角为 \( 30^{\circ} \) 时，发现塔影的长度比太阳高度角为 \( 45^{\circ} \) 时长 \( 2 x \) 米。证明塔的高度为 \( x(\sqrt{3}+1) \) 米。
已知
一座塔矗立在水平地面上，当太阳高度角为 \( 30^{\circ} \) 时，发现塔影的长度比太阳高度角为 \( 45^{\circ} \) 时长 \( 2 x \) 米。
要求
我们必须证明塔的高度为 \( x(\sqrt{3}+1) \) 米。
解答：
设 $AB$ 为塔的高度，$CA$ 为当太阳高度角为 \( 30^{\circ} \) 时的塔影，$DA$ 为当太阳高度角为 \( 45^{\circ} \) 时的塔影。
从图中可知，
$\mathrm{CD}=2x \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BCA}=30^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=45^{\circ}$
设塔的高度为 $\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，当太阳高度角为 \( 45^{\circ} \) 时的塔影长度为 $\mathrm{DA}=y \mathrm{~m}$。
这意味着，
$\mathrm{CA}=2x+y \mathrm{~m}$
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{y}$
$\Rightarrow 1=\frac{h}{y}$
$\Rightarrow h=y \mathrm{~m}$.........(i)
类似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{CA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{2x+y}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{2x+y}$
$\Rightarrow 2x+y=h \sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 2x+h=h\sqrt3 \mathrm{~m}$ [根据 (i)]
$\Rightarrow h(\sqrt3-1)=2x \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{2x}{\sqrt3-1} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{2x(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{2x(\sqrt3+1)}{3-1} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{2x(\sqrt3+1)}{2} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=x(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$
证毕。
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