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法学当太阳仰角为 \( 45^{\circ} \) 时，塔的影子比太阳仰角为 \( 60^{\circ} \) 时长 \( 10 \mathrm{~m} \)。求塔的高度。
已知
当太阳仰角为 \( 45^{\circ} \) 时，塔的影子比太阳仰角为 \( 60^{\circ} \) 时长 \( 10 \mathrm{~m} \)。
求解
我们需要求出塔的高度。
解：
设 AB 为塔，CB 为太阳仰角为 \( 45^{\circ} \) 时的影子，DB 为太阳仰角为 \( 60^{\circ} \) 时的影子。
从图中可知：
$\mathrm{CD}=10 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ACB}=45^{\circ}, \angle \mathrm{ADB}=60^{\circ}$
设塔高为 $\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，点 C 到塔底的距离为 $\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$。
这意味着：
$\mathrm{DB}=x-10 \mathrm{~m}$
我们知道：
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow h=x(1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=h \mathrm{~m}$...........(i)
同样地：
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DB}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h}{x-10}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h}{x-10}$
$\Rightarrow (x-10)\sqrt3=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow (h-10)\sqrt3=h \mathrm{~m}$ [从 (i) 式]
$\Rightarrow \sqrt3h-10\sqrt3=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h(\sqrt3-1)=10\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{10\times1.732}{1.732-1} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{17.32}{0.732}=23.66 \mathrm{~m}$
因此，塔的高度为$23.66 \mathrm{~m}$。
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