一个分数的分子和分母之和比分母的两倍少3。如果分子和分母都减去1，则分数变为$\displaystyle \frac{1}{2}$，求这个分数。

已知：一个分数的分子和分母之和比分母的两倍少3。如果分子和分母都减去1，则分数变为$\frac{1}{2}$。

要求：求这个分数。

解：设分数的分子$=x$

设分数的分母$=y$

根据第一个已知条件

$x+y=2y-3$

$x-y=-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc .\ \ \ ( 1)$

根据第二个已知条件

如果分子和分母都减去1，则分数变为$\frac{1}{2}$。

$\frac{( x-1)}{( y-1)} =\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2( x-1)=y-1$

$\Rightarrow 2x-y=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc .\ ( 2) \ $

用方程$( 2)$减去方程$( 1)$

$2x-y-( x-y)=1-( -3)$

$\Rightarrow x=4$

将x的值代入方程。

$\Rightarrow x=4$

将x的值代入方程

$4-y=-3$

$\Rightarrow y=7$

解方程$( 1)$和$( 2)$

得到$x=4$和$y=7$

$\therefore$ 分数是 $\frac{4}{7}$