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法律研究将下列情境表示成二次方程的形式
(i) 一个矩形地块的面积为 $528\ m^2$。地块的长度（以米为单位）比其宽度的两倍多一米。我们需要求出地块的长和宽。
(ii) 两个连续正整数的乘积为 306。我们需要求出这两个整数。
(iii) 罗汉的母亲比他大 26 岁。3 年后，他们年龄的乘积将是 360。我们想求出罗汉现在的年龄。
(iv) 一列火车以匀速行驶 480 公里。如果速度降低 8 公里/小时，那么它将需要多花 3 个小时才能行驶相同的距离。我们需要求出火车的速度。
需要做的事情
我们需要将给定的情境表示成二次方程的形式。
解答
(i) 矩形地块的面积$=528\ m^2$。
地块的长度（以米为单位）比其宽度的两倍多一米。
设地块的宽度为 $x\ m$。
这意味着，
地块的长度$=2x+1\ m$。
我们知道，
长为 $l$，宽为 $b$ 的矩形的面积为 $lb$。
因此，
矩形地块的面积$=(x)(2x+1)\ m^2$。
根据题意，
$x(2x+1)=528$ (来自公式 1)
$2x^2+x=528$
$2x^2+x-528=0$
用因式分解法求解 $x$，得到：
$2x^2+33x-32x-528=0$
$2x(x-32)+33(x-32)=0$
$(2x+33)(x-32)=0$
$2x+33=0$ 或 $x-32=0$
$2x=-33$ 或 $x=32$
长度不能为负数。因此，$x=32$。
$2x+1=2(32)+1=64+1=65\ m$
地块的宽度为 $32\ m$，地块的长度为 $65\ m$。
(ii) 两个连续正整数的乘积为 $306$。
设这两个连续整数为 $x$ 和 $x+1$，其中 $x$ 是较小的整数。
因此，
$x(x + 1) = 306$
$x^2 + x – 306 = 0$
$x^2+18x-17x-306=0$
$x(x+18)-17(x+18)=0$
$(x+18)(x-17)=0$
$x+18=0$ 或 $x-17=0$
$x=17$ 或 $x=-18$
这意味着，
如果 $x=17$，则 $x+1=17+1=18$
如果 $x=-18$，则 $x+1=-18+1=-17$
(iii) 罗汉的母亲比他大 26 岁。3 年后，他们年龄的乘积将是 360。
设罗汉现在的年龄为 $x$。
这意味着，
母亲的年龄 $= x+26$
3 年后罗汉的年龄 $= x+3$
3 年后母亲的年龄 $=(x+26)+3=x+29$。
因此，
$(x+3)(x+29) = 360$
$x(x+29)+3(x+29) = 360$
$x^2+29x+3x+87 = 360$
$x^2+32x+87-360 = 0$
$x^2+39x-7x-273=0$
$x(x+39)-7(x+39)=0$
$(x+39)(x-7)=0$
$x+39=0$ 或 $x-7=0$
$x=7$ 或 $x=-39$，这是不可能的
罗汉现在的年龄是 $7$ 岁。
(iv) 一列火车以匀速行驶 480 公里。如果速度降低 8 公里/小时，那么它将需要多花 3 个小时才能行驶相同的距离。
设火车的原始速度为 $x$ 公里/小时。
这意味着，
火车以原始速度行驶 480 公里所需的时间$=\frac{480}{x}$ 小时
当速度比原始速度降低 8 公里/小时时，火车行驶 480 公里所需的时间$=\frac{480}{x-8}$ 小时
根据题意，
$\frac{480}{x-8}-\frac{480}{x}=3$
$480(\frac{(x)-(x-8)}{(x)(x-8)})=3$
$480(\frac{8}{x^2-8x})=3$
$(480)(8)=3(x^2-8x)$ (交叉相乘)
$160(8)=x^2-8x$
$x^2-8x-1280=0$
用因式分解法求解 $x$，得到：
$x^2-40x+32x-1280=0$
$x(x-40)+32(x-40)=0$
$(x-40)(x+32)=0$
$x-40=0$ 或 $x+32=0$
$x=40$ 或 $x=-32$
速度不能为负数。因此，$x$ 的值为 $40$ 公里/小时。
火车的原始速度为 $40$ 公里/小时。
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