将下列情境表示成二次方程的形式
(i) 一个矩形地块的面积为 $528\ m^2$。地块的长度（以米为单位）比其宽度的两倍多一米。我们需要求出地块的长和宽。
(ii) 两个连续正整数的乘积为 306。我们需要求出这两个整数。
(iii) 罗汉的母亲比他大 26 岁。3 年后，他们年龄的乘积将是 360。我们想求出罗汉现在的年龄。
(iv) 一列火车以匀速行驶 480 公里。如果速度降低 8 公里/小时，那么它将需要多花 3 个小时才能行驶相同的距离。我们需要求出火车的速度。

需要做的事情

我们需要将给定的情境表示成二次方程的形式。

解答

(i) 矩形地块的面积$=528\ m^2$。

地块的长度（以米为单位）比其宽度的两倍多一米。

设地块的宽度为 $x\ m$。

这意味着，

地块的长度$=2x+1\ m$。

我们知道，

长为 $l$，宽为 $b$ 的矩形的面积为 $lb$。

因此，

矩形地块的面积$=(x)(2x+1)\ m^2$。

根据题意，

$x(2x+1)=528$   (来自公式 1)

$2x^2+x=528$

$2x^2+x-528=0$

用因式分解法求解 $x$，得到：

$2x^2+33x-32x-528=0$

$2x(x-32)+33(x-32)=0$

$(2x+33)(x-32)=0$

$2x+33=0$ 或 $x-32=0$

$2x=-33$ 或 $x=32$

长度不能为负数。因此，$x=32$。

$2x+1=2(32)+1=64+1=65\ m$

地块的宽度为 $32\ m$，地块的长度为 $65\ m$。 

(ii) 两个连续正整数的乘积为 $306$。

设这两个连续整数为 $x$ 和 $x+1$，其中 $x$ 是较小的整数。

因此，

$x(x + 1) = 306$

$x^2 + x – 306 = 0$

$x^2+18x-17x-306=0$

$x(x+18)-17(x+18)=0$

$(x+18)(x-17)=0$

$x+18=0$ 或 $x-17=0$

$x=17$ 或 $x=-18$

这意味着，

如果 $x=17$，则 $x+1=17+1=18$

如果 $x=-18$，则 $x+1=-18+1=-17$

(iii) 罗汉的母亲比他大 26 岁。3 年后，他们年龄的乘积将是 360。

设罗汉现在的年龄为 $x$。

这意味着，

母亲的年龄 $= x+26$

3 年后罗汉的年龄 $= x+3$

3 年后母亲的年龄 $=(x+26)+3=x+29$。

因此，

$(x+3)(x+29) = 360$

$x(x+29)+3(x+29) = 360$

$x^2+29x+3x+87 = 360$

$x^2+32x+87-360 = 0$

$x^2+39x-7x-273=0$

$x(x+39)-7(x+39)=0$

$(x+39)(x-7)=0$

$x+39=0$ 或 $x-7=0$

$x=7$ 或 $x=-39$，这是不可能的

罗汉现在的年龄是 $7$ 岁。

(iv) 一列火车以匀速行驶 480 公里。如果速度降低 8 公里/小时，那么它将需要多花 3 个小时才能行驶相同的距离。

设火车的原始速度为 $x$ 公里/小时。

这意味着，

火车以原始速度行驶 480 公里所需的时间$=\frac{480}{x}$ 小时

当速度比原始速度降低 8 公里/小时时，火车行驶 480 公里所需的时间$=\frac{480}{x-8}$ 小时

根据题意，

$\frac{480}{x-8}-\frac{480}{x}=3$

$480(\frac{(x)-(x-8)}{(x)(x-8)})=3$

$480(\frac{8}{x^2-8x})=3$

$(480)(8)=3(x^2-8x)$   (交叉相乘)

$160(8)=x^2-8x$

$x^2-8x-1280=0$

用因式分解法求解 $x$，得到：

$x^2-40x+32x-1280=0$

$x(x-40)+32(x-40)=0$

$(x-40)(x+32)=0$

$x-40=0$ 或 $x+32=0$

$x=40$ 或 $x=-32$

速度不能为负数。因此，$x$ 的值为 $40$ 公里/小时。

火车的原始速度为 $40$ 公里/小时。

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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