证明等差数列（AP）的首项为\( a \)，第二项为\( b \)，末项为\( c \)时，其和等于\( \frac{(a+c)(b+c-2 a)}{2(b-a)} \)

已知

一个等差数列，其首项为\( a \)，第二项为\( b \)，末项为\( c \)。

要求

我们必须证明，一个等差数列的首项为\( a \)，第二项为\( b \)，末项为\( c \)时，其和等于\( \frac{(a+c)(b+c-2 a)}{2(b-a)} \)。

解答

在给定的等差数列中：

首项 $=a$

公差 $=b-a$

末项 $a_{n}=c$

$a_{n}=l=a+(n-1) d$

$c=a+(n-1)(b-a)$

$c-a=(n-1)(b-a)$

$(n-1)=\frac{c-a}{b-a}$

$n=\frac{c-a}{b-a}+1$

$n=\frac{c-a+b-a}{b-a}$

$n=\frac{c+b-2 a}{b-a}$

等差数列n项和 $S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$=\frac{(b+c-2 a)}{2(b-a)}\left[2 a+\left\{\frac{b+c-2 a}{b-a}-1\right\}(b-a)\right]$

$=\frac{(b+c-2 a)}{2(b-a)}\left[2 a+\frac{c-a}{b-a} (b-a)\right]$

$=\frac{(b+c-2 a)}{2(b-a)}(2 a+c-a)$

$=\frac{(b+c-2 a)}{2(b-a)} (a+c)$

证毕。

教程点

更新于：2022年10月10日

2K+ 次浏览

开启你的职业生涯

完成课程获得认证

开始学习