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已知：等差数列的第 9 项为零。要证明：其第 29 项是其第 19 项的两倍。证明：设首项为 a，公差为 d。则有：a9 = a + (9-1)d = 0 => a = -8d …(i) a29 = a + (29-1)d = a + 28d = -8d + 28d = 20d …(ii) a19 = a + (19-1)d = a + 18d = -8d + 18d = 10d …(iii)因此，a29 = 2(10d) = 2 × a19 … (由 (iii) 得) 证毕。
已知：等差数列为 7, 10, 13, … 要判断：55 是否是该等差数列的一项，如果是，它是第几项。解：设首项为 a，公差为 d，第 n 项为 an = 55。则有：a1 = a = 7，d = a2 - a1 = 10 - 7 = 3，an = a + (n-1)d，55 = 7 + (n-1)3，55 - 7 = 3n - 3，48 + 3 = 3n，3n = 51，n = 17。这里，n 是正整数。因此，55 是该等差数列的一项。所以，55 是该等差数列的第 17 项。
已知：k2 + 4k + 8, 2k2 + 3k + 6, 3k2 + 4k + 4 是等差数列的连续三项。求：k 的值。解：因为 k2 + 4k + 8, 2k2 + 3k + 6, 3k2 + 4k + 4 是等差数列的连续三项，所以：(2k2 + 3k + 6) - (k2 + 4k + 8) = (3k2 + 4k + 4) - (2k2 + 3k + 6) => k2 - k - 2 = k2 + k - 2 => -k - 2 = k - 2 => 2k = 0 => k = 0 因此，k = 0
已知：将 207 分成三部分，使得这三部分成等差数列，并且较小的两部分的乘积为 4623。求：这三部分的值。解：设 207 的三部分为 (a – d), a, (a + d)，它们成等差数列。根据题意，三部分之和 = 207，a – d + a + a + d = 207，3a = 207，a = 207/3 = 69。较小的两部分的乘积 = 4623，即 a(a – d) = 4623，69(69 – d) = 4623，69 – d = 4623/69 = 67，d = 69 – … 阅读更多
已知：三角形的三个角成等差数列。最大角是最小角的两倍。求：三角形的三个角。解：设三个角为 a-d, a, a+d。根据题意，a+d = 2(a-d) => a+d = 2a-2d => a = 3d …(i) 又因为 a-d + a + a+d = 180° => 3a = 180° => a = 60° 所以，d = a/3 = 60°/3 = 20° …(由 (i) 得) a-d = 60°-20° = 40°，a = 60°，a+d = 60°+20° = 80°。所以，三角形的三个角是 40°，60° 和 80°。阅读更多
已知：两个等差数列 9, 7, 5, … 和 24, 21, 18, … 的第 n 项相同。求：n 的值和该项的值。解：第一个等差数列为 9, 7, 5, … a1 = 9, d1 = 7 - 9 = -2。第二个等差数列为 24, 21, 18, … b1 = 24, d2 = 21 - 24 = -3。两个等差数列的第 n 项相等。所以，an = bn。我们知道，an = a + (n-1)d。所以，an = 9 + (n-1)(-2)，bn = 24 + (n-1)(-3)，9 + (n-1)(-2) = 24 + (n-1)(-3)，9 - 2n + 2 … 阅读更多
已知：等差数列的第 3 项和第 8 项之和为 7，第 7 项和第 14 项之和为 -3。求：第 10 项。解：设首项为 a，公差为 d。则有：a3 = a + (3-1)d = a + 2d …(i) a8 = a + (8-1)d = a + 7d …(ii) a7 = a + (7-1)d = a + 6d …(iii) a14 = a + (14-1)d = a + 13d …(iv) 根据题意，a3 + a8 = 7 => a + 2d + a + 7d = 7 => 2a + 9d = 7 …(v) a7 + a14 = -3 => a + 6d + a + 13d = -3 => 2a + 19d = -3 …(vi) (vi) - (v) 得：10d = -10 => d = -1 代入 (v) 得：2a + 9(-1) = 7 => 2a = 16 => a = 8 所以，a10 = a + (10-1)d = 8 + 9(-1) = -1。因此，该等差数列的第 10 项是 … 阅读更多
已知：等差数列 -2, -4, -6, …, -100。求：从末尾数起的第 12 项。解：在给定的等差数列中，a1 = -2, a2 = -4, a3 = -6。首项 a1 = a = -2，末项 l = -100。公差 d = a2 - a1 = -4 - (-2) = -2。我们知道，从末尾数起的第 n 项为 l - (n - 1)d。因此，从末尾数起的第 12 项 = -100 - (12 - 1) × (-2) = -100 - 11 × (-2) = -100 + 22 = -78。该等差数列从末尾数起的第 12 项为 -78。阅读更多
已知：等差数列 53, 48, 43, … 求：该等差数列的第一个负数项是哪一项。解：这里，a1 = 53, a2 = 48, a3 = 43。公差 d = a2 - a1 = 48 - 53 = -5。该等差数列的第一个负数项 = 53 - 5 × 11 = -2 (53 - 5 × 10 = 3 是最后一个正数项)。我们知道，第 n 项 an = a + (n-1)d。所以，an = 53 + (n-1)(-5)，-2 = 53 + n(-5) - 1(-5)，-2 - 53 = -5n + 5，58 = 5n，n = 12。因此，第一个负数项是该等差数列的第 12 项。
已知：已知等差数列为 $-\frac{4}{3}, -1, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, ......, 4\frac{1}{3}$。求解：我们要求出给定等差数列的两个中间项的和。解：$a_1=a=-\frac{4}{3}, a_2=-1, l=4\frac{1}{3}$公差 $d=-1-(-\frac{4}{3})=-1+\frac{4}{3}=\frac{-1(3)+4}{3}=\frac{1}{3}$设给定等差数列中有 $n$ 项。这意味着，$l=a_n=-\frac{4}{3}+(n-1)(\frac{1}{3})$$4\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}+(n-1)\frac{1}{3}$$\frac{3\times4+1}{3}=\frac{-4+(n-1)}{3}$$12+1=-4+n-1$$n=13+5$$n=18$这里，$n=18$ 为偶数。因此，第 $(\frac{n}{2})$ 项和第 $\frac{n}{2}+1$ 项是中间项。$\frac{n}{2}=\frac{18}{2}=9$$\frac{n}{2}+1=9+1=10$中间项为 $a_{9}$ 和 $a_{10}$$a_{9}=-\frac{4}{3}+(9-1)(\frac{1}{3})$$=\frac{-4+8}{3}$$=\frac{4}{3}$$a_{10}=a_9+d=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}=\frac{4+1}{3}=\frac{5}{3}$$a_9+a_{10}=\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=\frac{4+5}{3}=\frac{9}{3}=3$给定等差数列的中间项之和为 $3$。阅读更多