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已知：给定表达式为 $25a^2-4b^2+28bc-49c^2$。要求：我们需要对给定表达式进行因式分解。解答：$25a^2-4b^2+28bc-49c^2=(5a)^2-(2b)^2+28bc-(7c)^2$$=(5a)^2-[(2b)^2-2(2b)(7c)+(7c)^2]$$=(5a)^2-[(2b-7c)^2]$$=(5a)^2-(2b-7c)^2$$=(5a+2b-7c)[5a-(2b-7c)]$ (因为 $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$)$=(5a+2b-7c)(5a-2b+7c)$$25a^2-4b^2+28bc-49c^2$ 的因式为 $(5a+2b-7c)$ 和 $(5a-2b+7c)$。
已知：一根固定在高度为 18 米的垂直杆上的拉线长 24 米，另一端系着一个桩子。要求：我们需要找到桩子应该离杆底多远才能使拉线绷紧。解答：设 AB 为杆，AC 为拉线。 这意味着，BC 是桩子应该离杆底的距离，才能使拉线绷紧。$AC=24\ m$ 且 $AB=18\ m$$\triangle ABC$ 是一个直角三角形。因此，根据勾股定理， $AC^2=AB^2+BC^2$$(24)^2=(18)^2+BC^2$$BC^2=576-324$$BC^2=252\ m^2$$BC=\sqrt{252}\ m$$BC=\sqrt{36\times7}\ m$$BC=6\sqrt7\ m$因此，桩子应该离杆底的距离，才能使拉线... 阅读更多
已知：$\triangle ABD$ 是一个以 A 为直角的直角三角形，且 $AC \perp BD$。要求：我们需要证明 $AC^2=BC.DC$。解答：设 $\angle CAB=x$，这意味着 $\angle CAD=90^o-x$在 $\triangle CAB$ 中，$\angle CAB+\angle BCA+\angle ABC=180^o$$x+90^o+\angle ABC=180^o$$\angle ABC=180^o-90^o-x=90^o-x$在 $\triangle CAD$ 中，$\angle CAD+\angle CDA+\angle ADC=180^o$$90^-x+90^o+\angle ADC=180^o$$\angle ADC=180^o-180^o+x=x$因此，在 $\triangle CAB$ 和 $\triangle CAD$ 中，$\angle CAB=\angle ADC=x$$\angle ABC=\angle CAD=90^o-x$ 因此，$\triangle CAB \sim\ \triangle CDA$ (根据 AA 相似性)这意味着，$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}$ (相似三角形的对应边成比例)$AC.AC=CB.DC$ (交叉相乘)$AC^2=BC.DC$证毕。 阅读更多
已知：$\triangle ABD$ 是一个以 A 为直角的直角三角形，且 $AC \perp BD$。要求：我们需要证明 $AD^2=BD.CD$。解答：在 $\triangle DCA$ 和 $\triangle DAB$ 中，$\angle DCA=\angle DAB=90^o$$\angle CDA=\angle BDA$ (公共角) 因此，$\triangle DCA \sim\ \triangle DAB$ (根据 AA 相似性)这意味着，$\frac{DC}{DA}=\frac{DA}{DB}$ (相似三角形的对应边成比例)$DA.DA=DB.DC$ (交叉相乘)$AD^2=BD.CD$证毕。
已知：$\triangle ABD$ 是一个以 A 为直角的直角三角形，且 $AC \perp BD$。要求：我们需要证明 $\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BD}{DC}$。解答：在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ABC$ 中， $\angle DAB=\angle ACB=90^o$$\angle B=\angle B$ (公共角)因此，$\triangle ADB \sim\ \triangle CAB$ (根据 AA 相似性)这意味着，$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{AB}$ (相似三角形的对应边成比例)$AB.AB=CB.BD$ (交叉相乘)$AB^2=BC.BD$......(i)设 $\angle CAB=x$，这意味着 $\angle CAD=90^o-x$在 $\triangle CAB$ 中，$\angle CAB+\angle BCA+\angle ABC=180^o$$x+90^o+\angle ABC=180^o$$\angle ABC=180^o-90^o-x=90^o-x$在 $\triangle CAD$ 中，$\angle CAD+\angle CDA+\angle ADC=180^o$$90^-x+90^o+\angle ADC=180^o$$\angle ADC=180^o-180^o+x=x$因此，在 $\triangle CAB$ 和 $\triangle CAD$ 中，$\angle CAB=\angle ADC=x$$\angle ABC=\angle CAD=90^o-x$ 因此，$\triangle CAB \sim\ \triangle CDA$ (根据 AA 相似性)这意味着，$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}$ (相似三角形的对应边成... 阅读更多
已知：一家纺织厂在四月份生产了 15780 米的布。已知每天生产相同长度的布。要求：我们需要找到该工厂的日产量。解答：四月份生产的布的总长度 $=15780\ m$。四月份的天数 $=30$ 天。每天生产的布的长度 $=$ 四月份生产的布的总长度 $\div$ 四月份的天数$=\frac{15780}{30}\ m$$=526\ m$该工厂的日产量为 526 米。
已知：\( \left(\frac{5}{11} \times \frac{33}{-25}\right)-\left(\frac{7}{13} \times \frac{11}{35} \times \frac{-26}{33}\right) \)要求：我们需要化简给定的表达式。解答： $(\frac{5}{11} \times \frac{33}{-25})-(\frac{7}{13} \times \frac{11}{35} \times \frac{-26}{33})=\frac{5\times33}{11\times(-25)}-\frac{7\times11\times(-26)}{13\times35\times33}$$=\frac{-3}{5}-\frac{-2}{5\times3}$$=\frac{-3}{5}+\frac{2}{15}$$=\frac{2-3\times3}{15}$ (5 和 15 的最小公倍数是 15)$=\frac{2-9}{15}$$=\frac{-7}{15}$因此，$(\frac{5}{11} \times \frac{33}{-25})-(\frac{7}{13} \times \frac{11}{35} \times \frac{-26}{33})=\frac{-7}{15}$。
下表显示了一个村庄在不同年份的男女人口（以千计）。
| 年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
| 男性人数 | 11.5 | 12.4 | 13 | 13.8 | 14.2 |
| 女性人数 | 10.5 | 11.7 | 13 | 14.2 | 15.0 |
让我们在 x 轴上取年份，在 y 轴上取人口。在 y 轴上取比例 1 个单位 = 500 人口，在 x 轴上取比例 1 个单位 = 2 年。(i) 2013 年男性人口与女性人口的比率 $=\frac{11.5\times1000}{10.5\times1000}=\frac{115}{105}=\frac{23}{21}$。(ii) 2015 年与 2017 年村庄总人口的比率 $=\frac{(13+13)\times1000}{(14.2+15)\times1000}=\frac{26}{29.2}=\frac{130}{146}=\frac{65}{73}$(iii) 2017 年女性人口与 2014 年相比的增长百分比$=\frac{(15-11.7)\times1000}{11.7\times1000}\times100 \%=\frac{33}{117}\times100 \%=\frac{11}{39}\times100 \%=28.21 \%$(iv) 2013 年到 2014 年男性人口的增长百分比$=\frac{(12.4-11.5)\times1000}{11.5\times1000}\times100 \%=\frac{9}{115}\times100 \%=\frac{900}{115} \%=7.82 \%$2014 年到 2015 年男性人口的增长百分比... 阅读更多
**已知：**在等边三角形ABC中，AD⊥BC。**求证：**AD²=3BD²。**证明：**在△ADB和△ACD中，∠ADB=∠ADC=90°，AB=AC，AD=AD（公共边）。因此，△ADB≅△ACD（RHS全等）。这意味着，BD=DC=BC/2（CPCT）。在△ADB中，AB²=AD²+BD²（根据勾股定理）。BC²=AD²+BD²（因为AB=AC）。(2BD)²=AD²+BD²。4BD²=AD²+BD²。(4-1)BD²=AD²。AD²=3BD²。证毕。
**已知：**△ABD是一个直角三角形，∠A=90°，AC⊥BD。**求证：**AB²=BC·BD。**证明：**在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠ACB=90°，∠B=∠B（公共角）。因此，△ADB∽△CAB（AA相似）。这意味着，AB/CB=BD/AB（相似三角形对应边成比例）。AB·AB=CB·BD（交叉相乘）。AB²=BC·BD。证毕。