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已知：两个自然数的差 = 5 cm，它们的倒数的差为 $\frac{1}{10}$。要求：求这两个数。解： 假设这两个自然数为 $a$ 和 $b$。根据题意，这两个数的差为 5。$a-b=5$ $\Rightarrow a=b+5............( 1)$这两个数的倒数的差为 $\frac{1}{10}$。 $\frac{1}{a} -\frac{1}{b} =\frac{1}{10}$ $\Rightarrow \frac{b-a}{ab} =\frac{1}{10}$ $\Rightarrow \frac{5}{ab} =\frac{1}{10}$ $\Rightarrow ab=50$ $\Rightarrow ( b+5) b=50$ $\Rightarrow b^{2} +5b-50=0$ $\Rightarrow b^{2} +10b-5b-50=0$ $\Rightarrow b( b+10) -5( b+10) =0$ $\Rightarrow ( b-5)( b+10) =0$ 如果 $b-5=0$ $\Rightarrow b=5$ 如果 $b+10=0$ $b=-10$ $\because$ b 是自然数，所以 ... 阅读更多
已知：从圆外一点引圆的两条切线。要求：证明从圆外一点引圆的两条切线的长相等。证明：考虑下图。设 P 为圆外一点，PA 和 PB 为圆的两条切线。我们需要证明 PA$\perp $PB现在考虑三角形 $\vartriangle OAP$ 和 $\vartriangle OBP$$\angle A = \angle B = 90^{o}$$OP = OP$ ... 阅读更多
已知：管道内径 = 20 cm，圆柱形水箱直径 = 10 m，水箱深度 = 2 m，水在管道中的流速 = 4 km/h要求：求水箱完全装满所需的时间。解：对于给定的水箱。直径 = 10 m半径，R = $\frac{直径}{2}$= 5 m深度，H = 2 m对于管道，内径 = 20 cm管道的内半径，r = $\frac{20}{2}$ = 10 cm = $\frac{10}{100}$ m = $\frac{1}{10}$ m水的流速 = v = 4 km/h = 4 × 1000 = 4000 m/h假设 t 为水箱充满所需的时间，因此，t 小时内流过管道的总水量将等于 ... 阅读更多
已知：一个高 20 厘米，顶角为 $60^{o}$ 的实心金属直圆锥，被一个平行于底面的平面在高度一半处截成两部分。如果将得到的圆台拉成直径为 $\frac{1}{12}$ 厘米的细丝。要求：求细丝的长度。解：设 ACB 为圆锥，其顶角 $\angle ACB = 60^{o} $。设 R 和 x 分别为圆台上下底面的半径。这里，圆锥的高，OC = 20 cm = H高 CP = h = 10 cm设 P 为 ... 阅读更多
"\已知：如图 5. PSR、RTQ 和 PAQ 是三个半圆，直径分别为 10 cm、3 cm 和 7 cm。要求：求阴影区域的周长。解：半圆 PSR 的半径 = $\frac{1}{2}$ x 10 = 5 cm半圆 RTQ 的半径 = $\frac{1}{2}$x 3 = 1.5 cm半圆 PAQ 的半径 = $\frac{1}{2}$x 7 = 3.5 cm半圆 PSR 的周长 = $\pi \times 5=5\pi \ cm$半圆 RTQ 的周长 = $\pi \times 1.5=1.5\pi \ cm$半圆 PAQ 的周长 = $\pi \times 3.5=3.5\pi \ cm$阴影区域的周长 = 半圆 PSR 的周长 + 半圆 RTQ 的周长 + 半圆 PAQ 的周长=$5\pi \ cm$+$1.5\pi \ cm$+$3.5\pi ... 阅读更多
已知：点 $A( -2.\ 1) ,\ B( a, \ b)$ 和 $C( 4, \ -1)$ 共线，且 $a-b\ =1$要求：求 a 和 b 的值。解：给定的点为 $A ( -2, \ 1), \ B ( a, \ b)$ 和 $C( 4, \ -1)$。由于给定的点共线，因此三角形 ABC 的面积为 0。我们知道，顶点为 $( x_{1} ,\ y_{1}) ,\ ( x_{2} ,\ y_{2})$ 和 $( x_{3} ,\ y_{3} )$ 的三角形的面积为$\frac{1}{2}[ x_{1}( y_{2} -y_{3}) +x_{2}( y_{3} -y_{1}) +x_{3}( y_{1} -y_{2})]$这里，代入值后 ... 阅读更多
"\已知：图 4，一个边长为 12 cm 的等边三角形 ABC，以及内接于该三角形的一个圆。要求：求内切圆的半径和阴影区域的面积。解：已知 $\vartriangle ABC$ 是边长为 12 cm 的等边三角形。$\therefore AB=BC=CA$连接 $OA, \ OB$ 和 $OC$作 $OP \perp BC$$OQ\perp AC$$OR \perp AB$设圆的半径为 $r\ cm$。$OR=OP=OQ=r$在 $\vartriangle AOB$ 中，AB 为底，OR 为 $\vartriangle AOB$ 的高，$\therefore$ $\vartriangle AOB$ 的面积，$A_{1} =\frac{1}{2} \times 底 \times 高$$\Rightarrow A_{1} =\frac{1}{2} \times AB\times r$$\Rightarrow A_{1} =\frac{1}{2} \times ... 阅读更多
**已知：**三个点 A(0, 2)，B(3, p) 和 C(p, 5)。点 A 到点 B 和点 C 的距离相等。
**已知：**一座 200 米高的灯塔，从灯塔顶端观察到两侧的两艘船的俯角分别为 60° 和 45°。
**已知：**AB = 6 厘米，BC = 8 厘米，∠B = 90°。