第3章 - 玩转数字
玩转数字 (引言)
乘法作为重复加法
乘法是重复加法。如果一个数字被重复加几次，那么你可以简单地用它被加的次数乘以它。
示例
Adding 5 to itself 8 times to get 40 is same as multiplying 5 by 8 to get 40.
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40
Or,
5 × 8 = 40
因数和倍数
让我们重新回顾一下乘法表
5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
等号左边的数字称为因数，右边的数字称为倍数。
例如，在…的情况下
5 × 3 = 15
5和3是因数，15是倍数。
除法作为重复减法
除法是重复减法。
示例
If 4 is subtracted from 16 repeatedly for 4 times, we get zero at the end.
This is same as dividing 16 by 4.
16 − 4 − 4 − 4 − 4 = 0
Or,
16 ÷ 4 = 0
一个数（被除数）的精确除法是连续减去一个数（除数），直到得到零（余数）。
因数和倍数
什么是倍数？
X 的倍数是通过将X乘以其他数字（1, 2, 3, 4, 5...）获得的结果数字。任何数字的倍数都是无限的。
示例
Consider the multiplication table of 3:
3 × 1 = 3
3 × 2 = 6
3 × 3 = 9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
...........
将3乘以不同的数字获得的结果数字，即3、6、9、12和15，称为3的倍数。
什么是因数？
X 的因数是一个能完美地整除X的数字。例如，3是12的因数，因为它能完美地整除12（没有余数）。
示例
Which of the two, 5 or 7, is a factor of 30?
30 ÷ 5
30 ÷ 7
In the first case,
30 ÷ 5 = 6
5 perfectly divides 30 with 0 as remainder and 6 as quotient. So 5 is a factor of 30.
In the second case,
30 ÷ 7
Produces a remainder 2. As 7 does not perfectly divide 30, it is not a factor of 30.
倍数与因数相反
让我们举个例子
3 × 9 = 27
在这种情况下，27是3和9的倍数。
同时，3和9是27的因数，因为它们都能完美地整除27。
有趣的事实
- 每个数字都是它自身的倍数。
- 每个数字都是它自身的因数。
- 一个数字的因数是有限的，而一个数字的倍数可以是无限的。
- 一个数字的每个因数都小于或等于该数字。
- 一个数字的每个倍数都大于或等于该数字。
- 1是所有数字的公因数。
质数和合数
质数
只有两个因数的数字称为质数。换句话说，质数只能被1和它自身整除。
例如，2、3、5、7、11...是质数。这些数字只有两个因数：1和它们自身。
合数
有超过两个因数的数字称为合数。例如，4、6、8、9、10...是合数。
注意：数字1既不是质数也不是合数。
埃拉托色尼筛法
为了找到1到100之间的质数和合数，我们将使用倍数的概念而不是因数的概念。
一位希腊数学家埃拉托色尼使用倍数的概念来筛选出1到100之间的质数和合数。
- 在数字列表中，1既不是质数也不是合数，所以1被排除在外。
- 我们转到1后面的数字，即2。列表中所有2的倍数，如4、6、8、10、12...都被划掉。
- 我们转到2后面的数字，即3，它没有被划掉。所有3的倍数，如6、9、12、15...都被划掉。
- 我们移动到下一个没有被划掉的数字，即5。所有5的倍数，如10、15、20、25...都被划掉。
- 请注意，在3之后，我们跳到5，因为4已经被划掉了，因为它是的2的倍数。
- 这个过程重复进行，直到所有数字都被圈出或划掉。
被圈出的数字是质数，所有被划掉的数字都是合数。
偶数和奇数
偶数
所有能被2整除或是的2的倍数的数字都称为偶数。
现在让我们学习另一种根据数字末位数字或个位数字对数字进行分类的方法。
考虑一些2的倍数
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 ....
我们在这里看到一个模式。所有这些数字的末位数字都是0、2、4、6、8。
因此，所有以2、4、6、8或0结尾的数字都称为偶数。
示例
450 is even, as it ends in a 0. 4986 is even number, as it ends in a 6. What about 9,99,998? This too is even, as it has 8 at the end.
奇数
以1、3、5、7或9结尾的数字称为奇数。
奇数也定义为不能被2整除或不是2的倍数的数字。
考虑数列
1, 3, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 ...
在这里，我们看到一个模式，这些数字的末尾数字是1、3、5、7或9。正如我们已经定义的那样，这样的数字称为奇数。
示例
789 is odd, as it ends with 9. Similarly, 4515 is odd, as it ends with 5. Let's take 673421821. This too is odd, as it ends with 1.
数字的可除性检验
2的可除性规则
如果一个数字以0、2、4、6或8结尾，则该数字能被2整除。
示例
Consider the number, 486. Since its last digit is 6, it is divisible by 2. Consider another number, 789. Its last digit is 9. So, 789 is not divisible by 2.
3和9的可除性规则
3和9的可除性规则相似。
- 将数字的各位数字加起来。
- 如果和是3的倍数，则该数字本身能被3整除。
示例
Consider the number, 486. Sum of digits, 4 + 8 + 6 = 18 18 is a multiple of 3. So, 486 is divisible by 3. 18 is a multiple of 9. So, 486 is divisible by 9 too. Now, consider another number, 29. Sum of digits, 2 + 9 = 11 11 is neither a multiple of 3 nor 9. So, 29 is neither divisible by 3 nor 9.
6的可除性规则
如果一个数字能被2和3整除，则它能被6整除。
示例
486 is divisible by both 2 and 3. Hence, 486 is divisible by 6 too! Let's take 488. It's divisible by 2, but not by 3. So, 488 is not divisible by 6.
4的可除性规则
如果一个两位或多位数的最后两位数字（从左向右数）能被4整除，则该数字能被4整除。
示例
Consider 552. 52 is divisible by 4. So, 552 is divisible by 4. What about 8261? 61 is not divisible by 4. So, 8261 is not divisible by 4.
8的可除性规则
如果一个三位或多位数的最后三位数字（从左向右数）能被8整除，则该数字能被8整除。
示例
Consider 5,55,552. The number formed by last three digits is 552. 552 is divisible by 8. So, 5,55,552 is divisible by 8.
5的可除性规则
如果一个数字以0或5结尾，则它能被5整除。例如，790和795能被5整除。
10的可除性规则
这是最简单的可除性规则。如果一个数字只以0结尾，则它能被10整除。例如，790能被10整除，但795不能。
11的可除性规则
如果一个数字的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差是0或11的倍数，则该数字能被11整除。
示例
Consider the number, 4565. Sum of digits in even places = 6 + 4 = 10 Sum of digits in odd places = 5 + 5 = 10 Difference of sums = 10 − 10 = 0 So, the number 4565 is divisible by 11.
公因数和公倍数
公因数
因数是能完美地整除一个给定数字的数字。例如，8的因数是1、2、4和8。
两个或多个数字可以有很多共同点；例如，因数。
示例
Consider the numbers, 15 and 20. Factors of 15 are: 1, 3, 5, 15 Factors of 20 are 1, 2, 4, 5, 10, 20 The common factors of 15 and 20 are 1 and 5. Factor 1 is trivial, as it a factor of every number.
示例
Consider the numbers, 12 and 24 Factors of 12 are: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Factors of 24 are: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 The common factors of these two numbers are 1, 2, 3, 4, 6, and 12.
互质数
只有1作为公因数的数字称为互质数。例如，9和10是互质数。
同样，215和216是互质数，因为它们唯一的公因数是1。
公倍数
一个数字（X）的倍数是我们用X乘以其他数字（如1、2、3、4...）得到的数字。例如，8、16、24、32...是8的倍数。
示例
Consider the multiples of the numbers, 4 and 8. Multiples of 4 are: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32... Multiples of 8 are: 8, 16, 24, 32... The common multiples of 4 and 8 are 8, 16, 24.... Common factors and common multiples are useful in understanding the concept of LCM and HCF.
质因数分解
什么是质因数分解？
众所周知，合数可以表示为其因数的乘积。
例如，合数20可以表示为：
4 × 5 = 20
2 × 10 = 20
因数4可以进一步表示为
2 × 2 = 4
同样，10可以进一步分解为
2 × 5 = 10
这样，我们将合数表示为其质因数的乘积。例如：
36 = 2 × 2 × 3 × 3
和
45 = 3 × 3 × 5
这个将一个数字分解为其质因数的过程称为质因数分解。
示例
Question: Find the prime factorization of 4030. Solution: Using divisibility rules, we know that 4030 is divisible by 2 4030 ÷ 2 = 2015 2015 is not divisible by 3 because 2 + 0 + 1 + 5 = 8 And, 8 is not divisible by 3. However, 2015 is divisible by 5, as it ends with 5. 2015 ÷ 5 = 403 Trying out different numbers, it is found that 403 is divisible by 13. 403 ÷ 13 = 31 13 and 31 are prime numbers. Factorization ends here. Hence, we can express 4030 as, 4030 = 2 × 5 × 13 × 31 2, 5, 13, and 31 are the prime factors of 4030.
因数树
可以使用因数树的概念将一个数字表示为其质因数的形式。
4030的因数树如下所示
用质因数分解法求最大公因数
定义：两个或多个数字的最大公因数（HCF）是能完美地整除这些数字的最大数字。
我们可以使用质因数分解法来找到两个或多个数字的最大公因数。
示例
Question: Find the HCF of 5, 10, and 15. Solution: 5 = 1 × 5 10 = 2 × 5 15 = 3 × 5 The common factor among these is 5 and it is the highest as well. Hence 5 is the HCF of 5, 10, and 15.
示例
Question: Find the HCF of 4, 8, and 16. Solution: 4 = 2 × 2 8 = 2 × 2 × 2 16 = 2 × 2 × 2 × 2 The HCF of these three numbers is = 2 × 2 = 4.
示例
Find the HCF of the numbers 14, 15, and 16. Solution: 14 = 2 × 7 15 = 3 × 5 16 = 2 × 2 × 2 × 2 There is no common factor except 1 for these numbers. Hence, 1 is the HCF of 14, 15, and 16.
用辗转相除法求最大公因数
除了质因数分解法之外，还有一种方法可以找到两个或多个数字的最大公因数。它被称为辗转相除法。
让我们用例子来理解这个方法。
示例：求8、28和32的最大公因数。
解答：让我们取前两个数字8和28。
用8除28→余数是4。
接下来，将除数（8）向下移动，并用余数（4）除以它。
重复此过程，直到余数为0。
记下产生余数为0的除数。
8和28的最大公因数是4。
接下来，取第三个数32，并用4除以它。
我们得到余数为0。
因此，4是8、28和32的最大公因数。
理解最小公倍数
定义：最小公倍数（LCM）是两个或多个数字的所有倍数中最小的倍数。
有两种方法可以找到一组数字的最小公倍数
- 梯形法
- 质因数分解法
梯形法
- 将需要求最小公倍数的数字写成以逗号分隔的序列。
- 用能整除最多数字的最小质数来除这组数字。
- 不能整除的数字作为余数向下移动。
- 再次选择一个质数作为除数，并除以所有余数。
- 重复此过程，直到数字没有任何公因数。
- 在除法过程中会形成一个数字梯。
- 然后，梯形外部数字的乘积给出给定数字的最小公倍数。
示例：使用梯度法求4、9和16的最小公倍数。
取最小的质数2，可以看到它可以整除三个数中的两个，即4和16。由于9不能被2整除，因此将其直接向下移。再次取一个可以整除这些数的质数（2）作为除数，进行除法运算，得到1、9和4。至少有两个数没有相同的因子。
然后，梯形外部所有数字的乘积就是最小公倍数。
所以最小公倍数 = 2 × 2 × 9 × 4 = 144
质因数分解法
每个数字都可以表示为一个或多个质数的乘积。
在这种方法中，一组数字的最小公倍数是通过使用每个数字的质因数来找到的。
找到每个质因数出现的最大次数，这些数字的乘积就是最小公倍数。
示例
Question: Find the LCM of 6, 9, and 15. Solution: In prime factorization method, the numbers are written as product of their prime factors. 6 = 2 × 3 9 = 3 × 3 15 = 3 × 5 Prime factor 2 occurs only once in 6. The maximum number of times 2 occurs is only 1. Prime factor 3 occurs in all the three numbers, but it occurs twice in 9. It's the maximum. So, 3 is taken twice. Prime factor 5 occurs only once in 15. So, the LCM of 6, 9, and 15 is, 2 × 3 × 3 × 5 = 90
示例
Question: Find the LCM of 4, 8, and 16. Solution: Product of prime factors, 4 = 2 × 2 8 = 2 × 2 × 2 16 = 2 × 2 × 2 × 2 In all the given numbers, there is only one prime factor, i.e., 2. In 16, the prime factor 2 occurs for the maximum number of times, i.e., 4. So, the LCM of 4, 8, and 16 is, 2 × 2 × 2 × 2 = 16