第8章 - 小数
小数的介绍
“小数”一词来源于拉丁语“decimus”，意思是“十分之一”。
小数是用一个小点将数字的两个数字隔开来写的。这个点被称为小数点。例如，23.45、3.14、0.02等。
整数和分数的组合
小数类似于分数，它们也表示整体的一部分。例如，3½是一个带分数，可以写成小数3.5。
- 小数点左边的数字表示整数，而
- 小数点右边的数字表示分数部分。
小数用于表示介于两个连续整数之间的数字。
在小数中，小数点左边的数字像整数一样读，而小数点右边的数字则逐个读。例如，47.28读作“四十七点二八”。
分数到小数
分数和小数密切相关。通过进行分数中的除法，可以将分数转换为小数。例如，
${7}/{4}$ = 1.75
小数表示一个大于整数但小于其连续下一个整数的数字，类似于带分数。
小数的位值
整数的位值
我们知道，整数的不同数字根据其在位值表中的位置具有不同的位值。
例如，在整数27中，数字2在十位，数字7在个位。
- 向左移动时，位值以10为倍数增加。
- 向右移动时，位值以${1}/{10}$为倍数减少。
小数的位值
在写小数时，小数点用于将小数部分与整数部分隔开。
与整数一样，小数也有自己明确定义的位值系统。
- 当我们将一个整体分成十等份时，就形成了十分位。
- 当我们将十分之一再分成十等份时，就形成了百分位。
整数部分和小数部分
- 小数点左侧的所有位值称为整数部分。
- 小数点右侧的所有位值称为小数部分。
示例：绘制小数218.95的位值表。
解决方案:
$$218.95 = 200 + 10 + 8 + {9}/{10} + {5}/{100}$$
位值表
比较小数
让我们用例子来学习如何比较两个小数。
示例：比较小数12.9和15.4。
解决方案:
- 首先，比较小数的整数部分。
- 这里，它们是12和15。
- 显然，12 < 15。
因此，12.9 < 15.4
如果两个小数的整数部分相等，则比较它们的小数部分。
示例：比较小数50.54和50.45。
解决方案:
- 整数部分相同，即50。
- 因此，让我们比较小数部分。
- 显然，54 > 45。
因此，50.54 > 50.45
使用位值图表
位值图表可用于比较小数。
这是一个两步过程
- 将数字写入其位值图表中。
- 然后，从最左边的位置到最右边的位置比较数字。
示例：比较小数4.5和4.56。
解决方案:
将数字写入其位值图表中，
用0作为占位符填充空位值。
比较每个位置上的数字，
4.5 < 4.56
4.5小于4.56。
数轴上小数的表示
要在数轴上表示一个小数，首先将其转换为对应分数，然后在数轴上表示。
要在数轴上标记任何小数，
- 首先，找到该数字所在的两个连续整数。
- 然后，将这两个整数之间的间隔分成十等份（或十分之一）。
小数点后有多于2位数字的小数很难在数轴上表示。
例如，要在数轴上表示0.75，必须将0和1之间的间隔分成100等份，而使用笔和纸来完成这项任务并不容易。
示例：在数轴上表示小数5.7。
解决方案:
将5.7分成整数和小数，
5.7 = 5 + 0.7
所以，5.7位于5和6之间。
接下来，将5和6之间的区域分成10等份。
在数轴上，当两个整数之间的间隔分成10等份时，每一份表示一个整体的十分之一。
因此，5和6之间第7条线表示5.7。
示例：在数轴上表示小数0.5。
解决方案:
将小数转换为分数，
0.5 = ${5}/{10}$
分子 > 分母，所以它是一个真分数，位于0和1之间。
将0和1之间的区域分成10等份。
从0向右的第5条线在数轴上是${5}/{10}$或0.5。
将分数转换为小数
将小数转换为分数
要将一个小数转换为分数，
- 首先，将数字写成不带小数点的形式。
- 将此数字视为分数的分子。
- 分数的分母将是1，后面跟与数字中小数点后数字个数相同的零。
例如，
$$0.43 = {43}/{100} \: 和 \: 0.8 = {8}/{10}$$
同样地，
$$9.12 = {912}/{100} = 9{12}/{100}$$
示例：将小数34.36转换为分数。
解决方案:
重写34.36，
= 34 + 0.36
= 34 + ${36}/{100}$
= 34 ${36}/{100}$
= ${3436}/{100}$
还有另一种将小数转换为分数的方法。
根据位值，
34.36 = 3 × 10 + 4 × 1 + ${3}/{10}$ + ${6}/{100}$
= 30 + 4 + ${3}/{10}$ + ${6}/{100}$
= ${3436}/{100}$ = 34${36}/{100}$
将分数转换为小数
要将分数转换为其等效小数，进行长除法，直到余数为0。例如，
${3}/{2}$ = 1.5
同样地，
${3}/{4}$ = 0.75
如果分数的分母是10的幂（如100或1000），则将分数转换为其等效小数非常容易。
取分子并在右侧放置一个小数点，小数点后的位数与分母中0的个数相同。
例如，
${34}/{100}$ = 0.34 ; ${6}/{10}$ = 0.6 ; ${764}/{1000}$ = 0.764
如果分数的分母不是10的幂，则找到其分母为10的幂的等效分数。
例如，
${13}/{25}$ = ${13 × 4 }/{25 × 4}$ = ${52}/{100}$ = 0.52
小数的实际应用
我们经常需要处理非整数的数字。在这种情况下，小数是不可避免的。例如，我们购买物品的价格以小数表示，如发油的价格可能是86.75卢比
小数用于金融、测量长度、查找物体的重量以及更多其他地方。
金融中的小数
在金融中，小数用于以不同的面额来写一个值。
示例:
1卢比有100派士。所以，
1派士= ${1}/{100}$卢比
39派士= ${39}/{100}$卢比= 0.39卢比
同样地，
293派士= 200派士+ 93派士
= 2卢比和93派士= 2.93卢比
测量中的小数
小数在测量长度中起着重要作用。最常见的长度测量单位是公里（km）、米（m）、厘米（cm）和毫米（mm）。
1公里= 1000米
1米= 100厘米
1厘米= 10毫米
示例：将23厘米转换为米。
解决方案:
100厘米= 1米
⇒ 1厘米= ${1}/{100}$米
⇒ 23厘米= ${23}/{100}$米= 0.23米
示例：将2.5米转换为厘米。
解决方案:
2.5米= 2米+ 0.5米
= (2 × 100)厘米+ (${5}/{10}$ × 100)厘米
= 200厘米+ 50厘米
= 250厘米
示例：将45克表示为千克。
解决方案:
“千”指的是1000。
1000克= 1千克
⇒ 1克= ${1}/{1000}$千克
⇒ 45克= ${45}/{1000}$千克= 0.045千克
小数的加法
加法是最基本的算术运算，用于求两个数的和。
列竖式加法
在写数字时，相同位值的数字必须位于同一列。例如，
两个小数的加法
在加两个小数时，
- 将数字一个放在另一个的下面。
- 对齐它们的小数点。
- 然后，从右到左逐位相加。
示例：加小数5.47和2.16。
解决方案:
首先，根据它们的位值将数字放在相应的列中，并对齐小数点
从最右边的位值开始加法。
7 + 6 = 13
所以，我们写下3并将1进位到十分位。
接下来，加上十分位，
4 + 1 = 5
加上来自上一步加法的进位，我们得到
5 + 1 = 6
最后，加上个位，
5 + 2 = 7
因此，5.47 + 2.16 = 7.63
如果一个小数的位数少于另一个数，则在整数部分之前和小数部分之后添加0作为占位符。它不会改变小数的值。
例如，
7.65 = 7.650 = 07.650
小数的减法
列竖式用于减去两个小数。
步骤如下
- 将数字一个放在另一个的下面，使它们的小数点对齐。
- 从最右边的列开始，一直减到所有列都减完。
- 如果无法减法，则从下一较高位值借位并减去。
示例：减去5.47 − 2.16
解决方案
将小数写在数位表中，并使小数点对齐。
从最右边的数位开始减。
7 − 6 = 1
所以，我们在百分位上写 1。
接下来，减去十分位上的数字。
4 − 1 = 3
将小数点向下移。
最后，减去个位上的数字。
5 − 2 = 3
结果 5.47 − 2.16 = 3.31
示例：杰克在一家杂货店购买了一支牙膏，价格为 30.25 印度卢比。他给了店主 50 印度卢比。他应该找回多少钱？
解决方案:
将数字按列写出，使小数点对齐。
- 从最右边的列开始。
- 0 > 5，所以从十分位借 10。
- 从 10（借位后）中减去 5，得到同一列中的 5。
- 在下一列中，从 9 中减去 2 得到 7。
- 接下来，将小数点向下移。
- 在下一列中，从 9 中减去 0 得到 9。
- 最后，在最左边的列中，从 4 中减去 3 得到 1。
因此，杰克应该找回 19.75 印度卢比。