凸优化 - 仿射集

如果集合A对于任意两点，穿过这两点的直线都位于集合A中，则称集合A为仿射集。

注意 −

• S是仿射集当且仅当它包含其所有点的仿射组合。

• 空集和单元素集都是仿射集和凸集。

  例如，线性方程的解集是一个仿射集。

证明

设S是线性方程的解集。

根据定义，$S=\left \{ x \in \mathbb{R}^n:Ax=b \right \}$

设$x_1,x_2 \in S\Rightarrow Ax_1=b$ 且 $Ax_2=b$

要证明：$A\left [ \theta x_1+\left ( 1-\theta \right )x_2 \right ]=b, \forall \theta \in\left ( 0,1 \right )$

$A\left [ \theta x_1+\left ( 1-\theta \right )x_2 \right ]=\theta Ax_1+\left ( 1-\theta \right )Ax_2=\theta b+\left ( 1-\theta \right )b=b$

因此，S是一个仿射集。

定理

如果C是一个仿射集，且$x_0 \in C$，则集合$V= C-x_0=\left \{ x-x_0:x \in C \right \}$是C的子空间。

证明

设$x_1,x_2 \in V$

要证明：$\alpha x_1+\beta x_2 \in V$ 对于某些$\alpha,\beta$

现在，根据V的定义，$x_1+x_0 \in C$ 且 $x_2+x_0 \in C$

现在，$\alpha x_1+\beta x_2+x_0=\alpha \left ( x_1+x_0 \right )+\beta \left ( x_2+x_0 \right )+\left ( 1-\alpha -\beta \right )x_0$

因为C是一个仿射集，所以$\alpha \left ( x_1+x_0 \right )+\beta \left ( x_2+x_0 \right )+\left ( 1-\alpha -\beta \right )x_0 \in C$。

因此，$\alpha x_1+\beta x_2 \in V$

证毕。