伪凸函数

设$f:S\rightarrow \mathbb{R}$是一个可微函数，S是$\mathbb{R}^n$中的一个非空凸集，则如果对于每个$x_1,x_2 \in S$，当$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )\geq 0$时，有$f\left ( x_2 \right )\geq f\left ( x_1 \right )$，或者等价地，如果$f\left ( x_1 \right )>f\left ( x_2 \right )$，则$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )<0$，则称f为伪凸函数。

伪凹函数

设$f:S\rightarrow \mathbb{R}$是一个可微函数，S是$\mathbb{R}^n$中的一个非空凸集，则如果对于每个$x_1, x_2 \in S$，当$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )\geq 0$时，有$f\left ( x_2 \right )\leq f\left ( x_1 \right )$，或者等价地，如果$f\left ( x_1 \right )>f\left ( x_2 \right )$，则$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )>0$，则称f为伪凹函数。

备注

• 如果一个函数既是伪凸函数又是伪凹函数，则称其为伪线性函数。

• 可微凸函数也是伪凸函数。

• 伪凸函数不一定是凸函数。例如：

  $f\left ( x \right )=x+x^3$不是凸函数。如果$x_1 \leq x_2,x_{1}^{3} \leq x_{2}^{3}$

  则，$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )=\left ( 1+3x_{1}^{2} \right )\left ( x_2-x_1 \right ) \geq 0$

  并且，$f\left ( x_2 \right )-f\left ( x_1 \right )=\left ( x_2-x_1 \right )+\left ( x_{2}^{3} -x_{1}^{3}\right )\geq 0$

  $\Rightarrow f\left ( x_2 \right )\geq f\left ( x_1 \right ) $

  因此，它是伪凸函数。

  伪凸函数是严格拟凸函数。因此，伪凸函数的每一个局部极小值也是全局极小值。

严格伪凸函数

设$f:S\rightarrow \mathbb{R}$是一个可微函数，S是$\mathbb{R}^n$中的一个非空凸集，则如果对于每个$x_1,x_2 \in S$，当$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )\geq 0$时，有$f\left ( x_2 \right )> f\left ( x_1 \right )$，或者等价地，如果$f\left ( x_1 \right )\geq f\left ( x_2 \right )$，则$\bigtriangledown f\left ( x_1 \right )^T\left ( x_2-x_1 \right )<0$，则称f为严格伪凸函数。

定理

设f是一个伪凸函数，并且假设对于某个$\hat{x} \in S$，$\bigtriangledown f\left ( \hat{x}\right )=0$，则$\hat{x}$是f在S上的全局最优解。

证明

设$\hat{x}$是f的临界点，即$\bigtriangledown f\left ( \hat{x}\right )=0$

由于f是伪凸函数，对于$x \in S$，我们有

$$\bigtriangledown f\left ( \hat{x}\right )\left ( x-\hat{x}\right )=0 \Rightarrow f\left ( \hat{x}\right )\leq f\left ( x\right ), \forall x \in S$$

因此，$\hat{x}$是全局最优解。

备注

如果f是严格伪凸函数，则$\hat{x}$是唯一的全局最优解。

定理

如果f是在S上可微的伪凸函数，则f既是严格拟凸函数又是拟凸函数。

备注

• 在$\mathbb{R}^n$的开集S上定义的两个伪凸函数之和可能不是伪凸函数。

• 设$f:S\rightarrow \mathbb{R}$是一个拟凸函数，S是$\mathbb{R}^n$的非空凸子集，则f是伪凸函数当且仅当每个临界点都是f在S上的全局极小值。

• 设S是$\mathbb{R}^n$的非空凸子集，$f:S\rightarrow \mathbb{R}$是一个函数，使得对于每个$x \in S$，$\bigtriangledown f\left ( x\right )\neq 0$，则f是伪凸函数当且仅当它是一个拟凸函数。