严格拟凸函数

设$f:S\rightarrow \mathbb{R}^n$且S是$\mathbb{R}^n$中的非空凸集，则如果对于每个$x_1,x_2 \in S$且$f\left ( x_1 \right ) \neq f\left ( x_2 \right )$，都有$f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right )< max \:\left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \}$，则称f为严格拟凸函数。

备注

• 每个严格拟凸函数都是严格凸函数。
• 严格拟凸函数并不意味着拟凸性。
• 严格拟凸函数可能不是强拟凸函数。
• 伪凸函数是严格拟凸函数。

定理

设$f:S\rightarrow \mathbb{R}^n$为严格拟凸函数，S是$\mathbb{R}^n$中的非空凸集。考虑问题：$min \:f\left ( x \right ), x \in S$。如果$\hat{x}$是局部最优解，则$\hat{x}$是全局最优解。

证明

假设存在$ \bar{x} \in S$使得$f\left ( \bar{x}\right )\leq f \left ( \hat{x}\right )$

由于$\bar{x},\hat{x} \in S$且S是凸集，因此，

$$ \lambda \bar{x}+\left ( 1-\lambda \right )\hat{x}\in S, \forall \lambda \in \left ( 0,1 \right )$$

由于$\hat{x}$是局部极小值，$f\left ( \hat{x} \right ) \leq f\left ( \lambda \bar{x}+\left ( 1-\lambda \right )\hat{x} \right ), \forall \lambda \in \left ( 0,\delta \right )$

由于f是严格拟凸的。

$$f\left ( \lambda \bar{x}+\left ( 1-\lambda \right )\hat{x} \right )< max \left \{ f\left ( \hat{x} \right ),f\left ( \bar{x} \right ) \right \}=f\left ( \hat{x} \right )$$

因此，这是一个矛盾。

严格拟凹函数

设$f:S\rightarrow \mathbb{R}^n$且S是$\mathbb{R}^n$中的非空凸集，则如果对于每个$x_1,x_2 \in S$且$f\left (x_1\right )\neq f\left (x_2\right )$，都有

$$f\left (\lambda x_1+\left (1-\lambda\right )x_2\right )> min \left \{ f \left (x_1\right ),f\left (x_2\right )\right \}$。

例子

• $f\left (x\right )=x^2-2$

  这是一个严格拟凸函数，因为如果我们取定义中满足约束的域中的任意两点$x_1,x_2$，则有$f\left (\lambda x_1+\left (1- \lambda\right )x_2\right )< max \left \{ f \left (x_1\right ),f\left (x_2\right )\right \}$。因为该函数在负x轴上递减，在正x轴上递增（因为它是一个抛物线）。

• $f\left (x\right )=-x^2$

  它不是严格拟凸函数，因为如果我们取$x_1=1$和$x_2=-1$以及$\lambda=0.5$，则$f\left (x_1\right )=-1=f\left (x_2\right )$，但$f\left (\lambda x_1+\left (1- \lambda\right )x_2\right )=0$。因此它不满足定义中规定的条件。但它是一个拟凹函数，因为如果我们取定义中满足约束的域中的任意两点，则有$f\left ( \lambda x_1+\left (1-\lambda\right )x_2\right )> min \left \{ f \left (x_1\right ),f\left (x_2\right )\right \}$。因为该函数在负x轴上递增，在正x轴上递减。