凸优化 - 极小值和极大值

局部极小值或极小点

如果$\forall x \in N_\varepsilon \left ( \bar{x} \right )$，$f\left ( \bar{x} \right )\leq f\left ( x \right )$，则称$\bar{x}\in \:S$为函数$f$的局部极小点，其中$N_\varepsilon \left ( \bar{x} \right )$表示$\bar{x}$的邻域，即$N_\varepsilon \left ( \bar{x} \right )$表示$\left \| x-\bar{x} \right \|< \varepsilon$

局部极大值或极大点

如果$\forall x \in N_\varepsilon \left ( \bar{x} \right )$，$f\left ( \bar{x} \right )\geq f\left ( x \right )$，则称$\bar{x}\in \:S$为函数$f$的局部极大点，其中$N_\varepsilon \left ( \bar{x} \right )$表示$\bar{x}$的邻域，即$N_\varepsilon \left ( \bar{x} \right )$表示$\left \| x-\bar{x} \right \|< \varepsilon$

全局极小值

如果$\forall x \in S$，$f\left ( \bar{x} \right )\leq f\left ( x \right )$，则称$\bar{x}\in \:S$为函数$f$的全局极小点

全局极大值

如果$\forall x \in S$，$f\left ( \bar{x} \right )\geq f\left ( x \right )$，则称$\bar{x}\in \:S$为函数$f$的全局极大点

示例

步骤1 - 求函数$f\left ( \bar{x} \right )=\left | x^2-4 \right |$的局部极小值和局部极大值

解 -

从上图可以看出，局部极小值出现在$x= \pm 2$，局部极大值出现在$x = 0$

步骤2 - 求函数$f\left (x \right )=\left | 4x^3-3x^2+7 \right |$的全局极小值

解 -

从上图可以看出，全局极小值出现在$x=-1$。