凸优化 - 锥

如果$\mathbb{R}^n$中的一个非空集合C满足：$x \in C \Rightarrow \lambda x \in C, \forall \lambda \geq 0$，则称C是以0为顶点的锥。

如果集合C既是凸集又是锥，则称C为凸锥。

例如，$y=\left | x \right |$ 不是凸锥，因为它不是凸集。

但是，$y \geq \left | x \right |$ 是凸锥，因为它既是凸集又是锥。

注意 - 锥C是凸集当且仅当对于任意$x,y \in C$, $x+y \in C$。

证明

由于C是锥，对于$x,y \in C \Rightarrow \lambda x \in C$ 和 $\mu y \in C \:\forall \:\lambda, \mu \geq 0$

如果$\lambda x + \left ( 1-\lambda \right )y \in C \: \forall \:\lambda \in \left ( 0, 1 \right )$，则C是凸集

由于C是锥，$\lambda x \in C$ 和 $\left ( 1-\lambda \right )y \in C \Leftrightarrow x,y \in C$

因此，如果$x+y \in C$，则C是凸集

一般来说，如果$x_1,x_2 \in C$，则$\lambda_1x_1+\lambda_2x_2 \in C, \forall \lambda_1,\lambda_2 \geq 0$

例子

• $\mathbb{R}^n$中无限多个向量的锥组合是一个凸锥。

• 任何空集都是凸锥。

• 任何线性函数都是凸锥。

• 由于超平面是线性的，它也是凸锥。

• 闭半空间也是凸锥。

注意 - 两个凸锥的交集是一个凸锥，但它们的并集可能不是凸锥。