凸优化 - 范数

范数是一个函数，它为向量或变量赋予严格正的值。

范数是一个函数 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$

范数的基本特征如下：

设 $X$ 为一个向量，使得 $X\in \mathbb{R}^n$

• $\left \| x \right \|\geq 0$

• $\left \| x \right \|= 0 \Leftrightarrow x= 0\forall x \in X$

• $\left \|\alpha x \right \|=\left | \alpha \right |\left \| x \right \|\forall \:x \in X and \:\alpha \:is \:a \:scalar$

• $\left \| x+y \right \|\leq \left \| x \right \|+\left \| y \right \| \forall x,y \in X$

• $\left \| x-y \right \|\geq \left \| \left \| x \right \|-\left \| y \right \| \right \|$

根据定义，范数计算如下：

• $\left \| x \right \|_1=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left | x_i \right |$

• $\left \| x \right \|_2=\left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left | x_i \right |^2 \right )^{\frac{1}{2}}$

• $\left \| x \right \|_p=\left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left | x_i \right |^p \right )^{\frac{1}{p}},1 \leq p \leq \infty$

范数是一个连续函数。

证明

根据定义，如果 $x_n\rightarrow x$ in $X\Rightarrow f\left ( x_n \right )\rightarrow f\left ( x \right )$ 则 $f\left ( x \right )$ 是一个常数函数。

设 $f\left ( x \right )=\left \| x \right \|$

因此，$\left | f\left ( x_n \right )-f\left ( x \right ) \right |=\left | \left \| x_n \right \| -\left \| x \right \|\right |\leq \left \| x_n-x \right \|$

由于 $x_n \rightarrow x$ ，因此 $\left \| x_n-x \right \|\rightarrow 0$

因此 $\left | f\left ( x_n \right )-f\left ( x \right ) \right |\leq 0\Rightarrow \left | f\left ( x_n \right )-f\left ( x \right ) \right |=0\Rightarrow f\left ( x_n \right )\rightarrow f\left ( x \right )$

因此，范数是一个连续函数。