拟凸函数和拟凹函数

设$f:S \rightarrow \mathbb{R}$，其中$S \subset \mathbb{R}^n$是一个非空凸集。如果对于每个$x_1,x_2 \in S$，都有$f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right )\leq \max\left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \},\lambda \in \left ( 0, 1 \right )$，则称函数f为拟凸函数。

例如，$f\left ( x \right )=x^{3}$

设$f:S\rightarrow \mathbb{R}$，其中$S\subset \mathbb{R}^n$是一个非空凸集。如果对于每个$x_1, x_2 \in S$，都有$f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right )\geq \min\left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \}, \lambda \in \left ( 0, 1 \right )$，则称函数f为拟凹函数。

备注

• 每个凸函数都是拟凸函数，但反之不然。
• 既是拟凸函数又是拟凹函数的函数称为拟单调函数。

定理

设$f:S\rightarrow \mathbb{R}$，且S是$\mathbb{R}^n$中的非空凸集。函数f是拟凸函数当且仅当$S_{\alpha} =\left \{ x \in S:f\left ( x \right )\leq \alpha \right \}$对于每个实数$\alpha$都是凸集。

证明

设f在S上是拟凸函数。

设$x_1,x_2 \in S_{\alpha}$，因此$x_1,x_2 \in S$且$\max \left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \}\leq \alpha$

设$\lambda \in \left (0, 1 \right )$，且设$x=\lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \leq \max \left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \} \Rightarrow x \in S$

因此，$f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right )\leq \max\left \{ f\left ( x_1 \right ), f\left ( x_2 \right ) \right \}\leq \alpha$

因此，$S_{\alpha}$是凸集。

逆命题

设对于每个$\alpha$，$S_{\alpha}$都是凸集

$x_1,x_2 \in S, \lambda \in \left ( 0,1\right )$

$x=\lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2$

设$x=\lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2$

对于$x_1, x_2 \in S_{\alpha}$，$\alpha= \max \left \{ f\left ( x_1 \right ), f\left ( x_2 \right ) \right \}$

$\Rightarrow \lambda x_1+\left (1-\lambda \right )x_2 \in S_{\alpha}$

$\Rightarrow f \left (\lambda x_1+\left (1-\lambda \right )x_2 \right )\leq \alpha$

证毕。

定理

设$f:S\rightarrow \mathbb{R}$，且S是$\mathbb{R}^n$中的非空凸集。函数f是拟凹函数当且仅当$S_{\alpha} =\left \{ x \in S:f\left ( x \right )\geq \alpha \right \}$对于每个实数$\alpha$都是凸集。

定理

设$f:S\rightarrow \mathbb{R}$，且S是$\mathbb{R}^n$中的非空凸集。函数f是拟单调函数当且仅当$S_{\alpha} =\left \{ x \in S:f\left ( x \right )= \alpha \right \}$对于每个实数$\alpha$都是凸集。