![Convex Optimization Tutorial](/convex_optimization/images/convex-optimization-mini-logo.jpg)
- 凸优化教程
- 首页
- 介绍
- 线性规划
- 范数
- 内积
- 最小值和最大值
- 凸集
- 仿射集
- 凸包
- Caratheodory定理
- Weierstrass定理
- 最近点定理
- 基本分离定理
- 凸锥
- 极锥
- 锥组合
- 多面体集
- 凸集的极点
- 方向
- 凸函数与凹函数
- Jensen不等式
- 可微凸函数
- 全局最优的充分条件和必要条件
- 拟凸函数与拟凹函数
- 可微拟凸函数
- 严格拟凸函数
- 强拟凸函数
- 伪凸函数
- 凸规划问题
- Fritz-John条件
- Karush-Kuhn-Tucker最优性必要条件
- 凸问题的算法
- 凸优化资源
- 凸优化 - 快速指南
- 凸优化 - 资源
- 凸优化 - 讨论
凸集的极点
设S是$\mathbb{R}^n$中的一个凸集。如果向量$x \in S$满足:当$x= \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2$,其中$x_1, x_2 \in S$且$\lambda \in\left ( 0, 1 \right )$时,蕴含$x=x_1=x_2$,则称x是S的极点。
示例
步骤1 − $S=\left \{ \left ( x_1,x_2 \right ) \in \mathbb{R}^2:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1 \right \}$
极点,$E=\left \{ \left ( x_1, x_2 \right )\in \mathbb{R}^2:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 1 \right \}$
步骤2 − $S=\left \{ \left ( x_1,x_2 \right )\in \mathbb{R}^2:x_1+x_2< 2, -x_1+2x_2\leq 2, x_1,x_2\geq 0 \right \}$
极点,$E=\left \{ \left ( 0, 0 \right), \left ( 2, 0 \right), \left ( 0, 1 \right), \left ( \frac{2}{3}, \frac{4}{3} \right) \right \}$
步骤3 − S是由点$\left \{ \left ( 0,0 \right ), \left ( 1,1 \right ), \left ( 1,3 \right ), \left ( -2,4 \right ),\left ( 0,2 \right ) \right \}$构成的多胞体
极点,$E=\left \{ \left ( 0,0 \right ), \left ( 1,1 \right ),\left ( 1,3 \right ),\left ( -2,4 \right ) \right \}$
备注
凸集S的任何点都可以表示为其极点的凸组合。
这仅适用于$\mathbb{R}^n$中的闭合有界集。
对于无界集,这可能不成立。
k个极点
凸集中的一个点被称为k极点当且仅当它是S内k维凸集的内点,并且它不是S内(k+1)维凸集的内点。基本上,对于凸集S,k个极点构成k维开面。