强拟凸函数

---

---

设$f:S\rightarrow \mathbb{R}^n$，且S是$\mathbb{R}^n$中的一个非空凸集，则f是强拟凸函数，如果对于任何$x_1,x_2 \in S$且$\left ( x_1 \right ) \neq \left ( x_2 \right )$，我们有$f\left ( \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2 \right )< max \:\left \{ f\left ( x_1 \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \},\forall \lambda \in \left ( 0,1\right )$

定理

在$\mathbb{R}^n$中的非空凸集S上，拟凸函数$f:S\rightarrow \mathbb{R}^n$是强拟凸函数，如果它在连接S中任意两点的线段上不恒定。

证明

设f是拟凸函数，并且它在连接S中任意两点的线段上不恒定。

假设f不是强拟凸函数。

存在$x_1,x_2 \in S$且$x_1 \neq x_2$，使得

$$f\left ( z \right )\geq max\left \{ f\left ( x_1 \right ), f\left ( x_2 \right ) \right \}, \forall z= \lambda x_1+\left ( 1-\lambda \right )x_2, \lambda \in \left ( 0,1 \right )$$

$\Rightarrow f\left ( x_1 \right )\leq f\left ( z \right )$且$f\left ( x_2 \right )\leq f\left ( z \right )$

由于f在$\left [ x_1,z \right ]$和$\left [z,x_2 \right ] $上不恒定

因此存在$u \in \left [ x_1,z \right ]$和$v=\left [ z,x_2 \right ]$

$$\Rightarrow u= \mu_1x_1+\left ( 1-\mu_1\right )z,v=\mu_2z+\left ( 1- \mu_2\right )x_2$$

由于f是拟凸的，

$$\Rightarrow f\left ( u \right )\leq max\left \{ f\left ( x_1 \right ),f \left ( z \right ) \right \}=f\left ( z \right )\:\: 且 \:\:f \left ( v \right ) \leq max \left \{ f\left ( z \right ),f\left ( x_2 \right ) \right \}$$

$$\Rightarrow f\left ( u \right )\leq f\left ( z \right ) \:\: 且 \:\: f\left ( v \right )\leq f\left ( z \right )$$

$$\Rightarrow max \left \{ f\left ( u \right ),f\left ( v \right ) \right \} \leq f\left ( z \right )$$

但z是u和v之间的任意一点，如果其中任何一个相等，则f是常数。

因此，$max \left \{ f\left ( u \right ),f\left ( v \right ) \right \} \leq f\left ( z \right )$

这与f的拟凸性相矛盾，因为$z \in \left [ u,v \right ]$。

因此，f是强拟凸函数。

定理

设$f:S\rightarrow \mathbb{R}^n$，且S是$\mathbb{R}^n$中的一个非空凸集。如果$\hat{x}$是局部最优解，则$\hat{x}$是唯一的全局最优解。

证明

由于强拟凸函数也是严格拟凸函数，因此局部最优解是全局最优解。

唯一性 − 设f在两点$u,v \in S$处取得全局最优解

$$\Rightarrow f\left ( u \right ) \leq f\left ( x \right ).\forall x \in S\:\: 且 \:\:f\left ( v \right ) \leq f\left ( x \right ).\forall x \in S$$

如果u是全局最优解，$f\left ( u \right )\leq f\left ( v \right )$且$f\left ( v \right )\leq f\left ( u\right )\Rightarrow f\left ( u \right )=f\left ( v\right )$

$$f\left ( \lambda u+\left ( 1-\lambda\right )v\right )< max \left \{f\left ( u \right ),f\left ( v \right ) \right \}=f\left ( u \right )$$

这是一个矛盾。

因此，只存在一个全局最优解。

备注

• 强拟凸函数也是严格拟凸函数。
• 严格凸函数可能是也可能不是强拟凸的。
• 可微严格凸函数是强拟凸的。