凸优化 - 方向

设S为$\mathbb{R}^n$中的闭凸集。非零向量$d \in \mathbb{R}^n$称为S的方向，如果对于每个$x \in S，x+\lambda d \in S，\forall \lambda \geq 0.$

• S的两个方向$d_1$和$d_2$称为不同的，如果$d \neq \alpha d_2$，其中$\alpha>0$。

• S的方向d被称为极方向，如果它不能写成两个不同方向的正线性组合，即如果$d=\lambda _1d_1+\lambda _2d_2$，其中$\lambda _1, \lambda _2>0$，则$d_1= \alpha d_2$，其中$\alpha$为某个数。

• 任何其他方向都可以表示为极方向的正组合。

• 对于凸集S，方向d使得$x+\lambda d \in S$对于某个$x \in S$和所有$\lambda \geq0$成立，称为S的**隐含**方向。

• 设E为某个函数$f:S \rightarrow$在$\mathbb{R}^n$中非空凸集S上达到最大值的点的集合，则E称为S的暴露面。暴露面的方向称为暴露方向。

• 方向为极方向的射线称为极射线。

示例

考虑函数$f\left ( x \right )=y=\left |x \right |$，其中$x \in \mathbb{R}^n$。设d为$\mathbb{R}^n$中的单位向量

那么，d是函数f的方向，因为对于任何$\lambda \geq 0，x+\lambda d \in f\left ( x \right )$。