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法律研究ABCD是一个矩形，其中对角线AC平分∠A和∠C。证明：(i) ABCD是正方形 (ii) 对角线BD平分∠B和∠D。
已知
$ABCD$是一个矩形，其中对角线$AC$平分∠A和∠C。
要求
我们需要证明
(i) $ABCD$是正方形
(ii) 对角线$BD$平分∠B和∠D。
解答
(i) 当所有边都相等时，正方形是矩形。
在上图中，$AC$平分∠A和∠C。
因此，
$\angle DAC = \angle BAC$............(i)
$\angle DCA = \angle BCA$............(ii)
在矩形中，对边平行。
所以，$AD \parallel BC$
$AC$是截线。
因此，
$\angle DAC = \angle BCA$...........(iii) [内错角]
由(i)和(iii)，
$\angle BCA = \angle BAC$..........(iv)
在$\Delta ABC$中，
$\angle BCA = \angle BAC$
所以，$AB = BC$...........(v)
我们已经知道，
在矩形$ABCD$中，$AB = CD, BC = DA$.............(vi)
由(v)和(vi)，
$AB = BC = CD = DA$。
因此，$ABCD$是正方形。
(ii) $ABCD$是正方形，
正方形的对角线平分其角。
因此，对角线$BD$平分∠B和∠D。
证毕。
更新于： 2022年10月10日
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