已知矩形ABCD中，对角线AC平分∠A和∠C。求证：
(i) ABCD是正方形
(ii) 对角线BD平分∠B和∠D。

已知

ABCD是一个矩形，对角线AC平分∠A和∠C。

求证

我们需要证明：

(i) ABCD是正方形

(ii) 对角线BD平分∠B和∠D。

解答

(i) 当所有边都相等时，正方形是矩形。

在上图中，AC平分∠A和∠C。

因此，

∠DAC = ∠BAC............(i)

∠DCA = ∠BCA............(ii)

在矩形中，对边平行。

所以，AD ∥ BC

AC是截线。

因此，

∠DAC = ∠BCA...........(iii) [内错角]

由(i)和(iii)，

∠BCA = ∠BAC..........(iv)

在△ABC中，

∠BCA = ∠BAC

所以，AB = BC...........(v)

我们已知，

在矩形ABCD中，AB = CD, BC = DA.............(vi)

由(v)和(vi)，

AB = BC = CD = DA。

因此，ABCD是正方形。

(ii) ABCD是正方形，

正方形的对角线平分其角。

因此，对角线BD平分∠B和∠D。

证毕。 

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更新于：2022年10月10日

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