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法律研究$ABCD$是筝形，且$\angle A=\angle C$。如果$\angle CAD=60^{\circ}$和$\angle CBD=45^{\circ}$，求
$( a).\ \angle BCD$
$( b). \angle CDA$
已知：$ABCD$是筝形，且$\angle A=\angle C$，$\angle CAD=60^{\circ}$，$\angle CBD=45^{\circ}$。
求解：求
$( a).\ \angle BCD$
$( b).\ \angle CDA$
解
设两条对角线的交点为$O$。
在$\vartriangle AOD$和$\vartriangle COD$中，
$AD=CD$ [筝形的邻边相等]
$AO=CO$ [BD平分AC]
$OD=OD$ [公共边]
$\therefore \vartriangle AOD\cong\vartriangle COD$
因此，
$\angle CAD=\angle ACD=60^o$
在$\vartriangle ACD$中，根据三角形内角和定理，
$\angle CAD+\angle ACD+\angle CDA=180^o$
$\Rightarrow 60+60+\angle CDA=180$
$\Rightarrow \angle CDA=180-120$
$\Rightarrow \angle CDA=60^o$
在$\vartriangle AOB$和$\vartriangle COB$中，
$AO=CO$ [BD平分AC]
$OB=OB$ [公共边]
$AB=BC$ [筝形的邻边相等]
$\therefore \vartriangle AOB\cong\vartriangle COB$
因此，
$\angle AOB=\angle COB$
$\angle BAO=\angle BCO$
根据邻补角定理，
$\angle AOB+\angle COB=180^o$
$\Rightarrow 2\times\angle AOB=180$
$\Rightarrow \angle AOB=90^o=\angle COB$
在$\vartriangle BOC$中，根据三角形内角和定理，
$\angle OBC+\angle COB+\angle BCO=180$
$\Rightarrow 45+90+\angle BCO=180$
$\Rightarrow \angle BCO=180-135$
$\Rightarrow \angle BCO=45^o$
因此，
$\angle BCD=\angle BCO+\angle DCO$
$\angle BCD=45+60$
$\angle BCD=105^o$
更新于：2022年10月10日
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