NumPy - 特征向量

什么是特征向量？

特征向量是与矩阵相关联的特殊向量，它提供有关矩阵属性的信息。

在线性代数的上下文中，如果A是一个方阵，则对应于特征值λ的特征向量v是一个非零向量，满足以下等式：

Av = λv

这意味着当矩阵A乘以向量v时，结果与用标量λ乘以向量v相同。

在 NumPy 中计算特征向量

NumPy 提供了numpy.linalg.eig()函数来计算方阵的特征值和特征向量。让我们通过一个例子来看看这个函数是如何工作的。

示例

在这个例子中，矩阵A的特征值是 3 和 2。相应的特征向量显示在输出中：

import numpy as np

# Define a 2x2 matrix
A = np.array([[4, -2], 
              [1,  1]])

# Compute the eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

print("Eigenvalues:", eigenvalues)
print("Eigenvectors:\n", eigenvectors)

numpy.linalg.eig()函数的输出包含两个数组：一个用于特征值，一个用于特征向量。

特征值数组包含矩阵的特征值，而特征向量数组的每一列都表示对应于相应特征值的特征向量：

Eigenvalues: [3. 2.]
Eigenvectors:
 [[ 0.89442719  0.70710678]
 [ 0.4472136  -0.70710678]]

特征向量的性质

特征向量具有几个重要的性质，它们是：

线性：对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。
可伸缩性：特征向量的任何标量倍数也是对应于相同特征值的特征向量。
不变性：特征向量在由矩阵定义的线性变换下保持不变（最多一个标量倍数）。
正交性：对于对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量是正交的。

特征向量的应用

特征向量有许多应用，它们是：

主成分分析 (PCA)：用于数据分析和机器学习中的降维。
稳定性分析：用于控制理论中分析系统的稳定性。
量子力学：用于求解薛定谔方程并找到系统的能级。
振动分析：用于工程中分析结构的固有频率。
图论：用于分析图和网络的属性。

示例：3x3 矩阵的特征向量

在下面的示例中，我们使用 NumPy 计算 3x3 矩阵的特征值和特征向量：

import numpy as np

# Define a 3x3 matrix
B = np.array([[1, 2, 3],
              [0, 1, 4],
              [5, 6, 0]])

# Compute the eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(B)

print("Eigenvalues:", eigenvalues)
print("Eigenvectors:\n", eigenvectors)

这将产生以下结果：

Eigenvalues: [-5.2296696  -0.02635282  7.25602242]
Eigenvectors:
[[ 0.22578016 -0.75769839 -0.49927017]
 [ 0.52634845  0.63212771 -0.46674201]
 [-0.81974424 -0.16219652 -0.72998712]]

对称矩阵和实特征向量

对称矩阵是指等于其转置的矩阵（即，A = A^T）。对称矩阵在特征值和特征向量方面具有一些特殊的性质：

实特征值：对称矩阵的特征值始终是实数。
正交特征向量：对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的。

示例

让我们计算一个对称矩阵的特征值和特征向量：

import numpy as np

# Define a symmetric matrix
C = np.array([[4, 1, 1],
              [1, 4, 1],
              [1, 1, 4]])

# Compute the eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(C)

print("Eigenvalues:", eigenvalues)
print("Eigenvectors:\n", eigenvectors)

以下是上述代码的输出：

Eigenvalues: [6. 3. 3.]
Eigenvectors:
[[-0.57735027 -0.81649658 -0.15430335]
 [-0.57735027  0.40824829 -0.6172134 ]
 [-0.57735027  0.40824829  0.77151675]]

特征向量和对角化

如果方阵A可以写成以下形式，则称其为可对角化的：

A = PDP^-1

其中，D是一个包含A的特征值的对角矩阵，P是一个其列是A的特征向量的矩阵。

示例

让我们看看如何使用 NumPy 对角化矩阵：

import numpy as np

# Define a matrix
D = np.array([[2, 0, 0],
              [1, 3, 0],
              [4, 5, 6]])

# Compute the eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(D)

# Diagonal matrix of eigenvalues
D_diag = np.diag(eigenvalues)

# Reconstruct the original matrix
reconstructed_D = eigenvectors @ D_diag @ np.linalg.inv(eigenvectors)

print("Original matrix:\n", D)
print("Reconstructed matrix:\n", reconstructed_D)

使用其特征值和特征向量成功地重建了原始矩阵，演示了对角化过程：

Original matrix:
 [[2 0 0]
 [1 3 0]
 [4 5 6]]
Reconstructed matrix:
 [[2. 0. 0.]
 [1. 3. 0.]
 [4. 5. 6.]]

打印页面