150个球形弹珠，每个直径为$1.4 \mathrm{~cm}$，被放入一个直径为$7 \mathrm{~cm}$的圆柱形容器中，容器中装有一些水，弹珠完全浸没在水中。求水面在容器中上升的高度。

已知

150个球形弹珠，每个直径为$1.4 \mathrm{~cm}$，被放入一个直径为$7 \mathrm{~cm}$的圆柱形容器中，容器中装有一些水，弹珠完全浸没在水中。

要求

我们需要求出水面在容器中上升的高度。

解答

每个球形弹珠的直径 $=1.4 \mathrm{~cm}$

这意味着，

每个球形弹珠的半径 $r=\frac{1.4}{2}$

$=0.7 \mathrm{~cm}$

$=\frac{7}{10} \mathrm{~cm}$

每个球形弹珠的体积 $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$=\frac{4}{3} \pi \times (\frac{7}{10})^{3}$

$=\frac{1372 \pi}{3000} \mathrm{~cm}^{3}$

150个球形弹珠的总体积 $=\frac{1372 \pi}{3000} \times 150$

$=\frac{1372 \pi}{20}$

$=\frac{343 \pi}{5} \mathrm{~cm}^{3}$

圆柱形容器的直径 $=7 \mathrm{~cm}$

这意味着，

圆柱形容器的半径 $R=\frac{7}{2} \mathrm{~cm}$

设水面上升的高度为 $h$。
因此，

水面上升的体积 $=\pi r_{2}^{2} h$

$=\pi \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} h$

$=\frac{49 \pi}{4} h \mathrm{~cm}$

水面上升的体积 $=$ 150个球形弹珠的总体积

$\frac{49 \pi}{4} h=\frac{343 \pi}{5}$

$h=\frac{\text { 150个弹珠的总体积 }}{\pi r_{2}^{2}}$

$=\frac{343 \pi \times 4}{5 \times \pi \times 7^{2}}$

$=\frac{28}{5}$

$=5.6 \mathrm{~cm}$

水面在容器中上升的高度为 $5.6\ cm$。

教程点

更新时间: 2022年10月10日

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