如果圆的两条相等弦在圆内相交，证明一条弦的线段等于另一条弦的对应线段。

已知

圆的两条相等弦在圆内相交

需要做

我们需要证明一条弦的线段等于另一条弦的对应线段。

解答

设 $AB$ 和 $CD$ 是两条在点 $R$ 相交的相等弦。

从圆心画一条垂直于 $AB$ 的线段，再画一条垂直于 $CD$ 的线段。

$OP \perp AB$

$OQ \perp CD$。

连接 $OR$。

从图中，

$OP$ 平分 $AB$ 且 $OP \perp AB$

$OQ$ 平分 $CD$ 且 $OQ \perp CD$

$AB = CD$

这意味着，

$AP = QD$.........(i)

$PB = CQ$.........(ii)

在三角形 $OPR$ 和 $OQR$ 中，

$\angle OPR = \angle OQR$

$OR = OR$           (公共边)

$OP = OQ$           ($AB$ 和 $CD$ 相等且它们到圆心的距离相等)

因此，根据 RHS 全等，

$\triangle OPR \cong \triangle OQR$

这意味着，

$PR = QR$..........(iii)          (对应边相等)

由 (i) 和 (ii) 可得，

$AP+PR = QD+QR$

$AR = RD$

由 (ii) 和 (iii) 可得，

$PB-PR = CQ-QR$

$BR = CR$

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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