在$\triangle ABC$中，$BM$和$CN$分别是$B$和$C$到过$A$点的任意直线的垂线。如果$L$是$BC$的中点，证明$ML=NL。

已知

在$\triangle ABC$中，$BM$和$CN$分别是$B$和$C$到过$A$点的任意直线的垂线。

$L$是$BC$的中点。

要求

我们必须证明$ML=NL$。

解答

连接$ML$和$NL$。

在$\triangle BMP$和$\triangle CNP$中，

$\angle M=\angle N=90^o$

$\angle BPM=\angle CPN$                (对顶角)

因此，根据AA公理，

$\Delta \mathrm{BML} \sim \triangle \mathrm{LMC}$

这意味着，

$\frac{BM}{CN}=\frac{PM}{PN}$

在$\triangle BML$和$\triangle CNL$中，

$\frac{BM}{CN}=\frac{PM}{PN}$

$\angle B=\angle C$                (内错角)

因此，

$\triangle BML \sim \triangle LNC$。

这意味着，

$\frac{ML}{LN}=\frac{BL}{LC}$

$\mathrm{BL}=\mathrm{LC}$

这意味着，

$\mathrm{CL}$是$\mathrm{BL}$的中点

$\frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{LC}}=1$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{LN}}=1$
因此，

$\mathrm{ML}=\mathrm{LN}$。

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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