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法学在下图中，\( AB=36 \mathrm{~cm} \) ，\( M \) 是 \( AB \) 的中点。在 \( AB \)、\( AM \) 和 \( MB \) 上分别以其为直径作半圆。以 \( C \) 为圆心的圆与这三个圆都相切。
已知
\( AB=36 \mathrm{~cm} \) ，\( M \) 是 \( AB \) 的中点。
在 \( AB \)、\( AM \) 和 \( MB \) 上分别以其为直径作半圆。
以 \( C \) 为圆心的圆与这三个圆都相切。
要求：
求阴影部分的面积。
解答
最大半圆的直径 = 36 cm
这意味着：
半径 \(R =\frac{36}{2}\)
\(= 18\ cm\)
每个较小半圆的直径 = 18 cm
这意味着：
半径 \(r_{1}=\frac{18}{2}\)
\(=9 \mathrm{~cm}\)
最小圆的直径 \(=\frac{1}{3} \times 36\)
\(=12 \mathrm{~cm}\)
这意味着：
半径 \(r_{2}=\frac{12}{2}\)
\(=6 \mathrm{~cm}\)
因此：
阴影部分的面积 = 最大半圆的面积 - (两个较小半圆的面积 + 最小圆的面积)
\(=\frac{1}{2} \pi \mathrm{R}^{2}-(2 \times \frac{1}{2} \pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2})\)
\(=\frac{1}{2} \pi \mathrm{R}^{2}-(\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2})\)
\(=\frac{1}{2} \pi \mathrm{R}^{2}-\pi r_{1}^{2}-\pi r_{2}{ }^{2}\)
\(=\pi[\frac{1}{2} \mathrm{R}^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}]\)
\(=\pi[\frac{1}{2}(18)^{2}-(9)^{2}-(6)^{2}]\)
\(=\pi[\frac{324}{2}-81-36]\)
\(=\pi(\frac{324}{2}-117)\)
\(=\pi(162-117)\)
\(=45 \pi \mathrm{cm}^{2}\)
阴影部分的面积是 \(45 \pi\ cm^2\)。
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