直线 \( l \) 是角 \( \angle A \) 的角平分线，\( B \) 是 \( l \) 上任意一点。BP 和 BQ 分别是 B 到 \( \angle A \) 两边的垂线。证明
(i) \( \triangle APB \cong \triangle AQB \)
(ii) \( BP=BQ \) 或 \( B \) 到角 \( \angle A \) 的两边的距离相等。
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已知

直线 $l$ 是角 $\angle A$ 的角平分线，角平分线 $B$ 是 $l$ 上任意一点。

$BP$ 和 $BQ$ 分别是 $B$ 到 $\angle A$ 两边的垂线。

要求

我们需要证明

(i) $\triangle APB \cong \triangle AQB$

(ii) $BP=BQ$ 或 $B$ 到 $\angle A$ 的两边的距离相等。

解答

(i) 我们知道，

根据角边角定理

如果一个三角形的两个角和它们的夹边分别等于另一个三角形的两个角和它们的夹边，那么这两个三角形全等。

这意味着，

$\angle P=\angle Q$ 且 $AB=BA$

由于直线 $l$ 是 $\angle A$ 的角平分线

我们得到，

$\angle BAP=\angle BAQ$

因此，

$\triangle APB \cong \triangle AQB$。

(ii) 我们知道，

根据全等三角形对应角和对应边相等：如果两个三角形全等，那么它们的对应角和对应边都相等。

这意味着，

$BP=BQ$ 且 $B$ 到 $\angle A$ 的两边的距离相等。

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更新于: 2022-10-10

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