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法律研究已知圆的弦 \( \mathrm{AC} \) 和 \( \mathrm{BD} \) 相互平分。证明：（i）\( \mathrm{AC} \) 和 \( \mathrm{BD} \) 是直径；（ii）\( \mathrm{ABCD} \) 是矩形。
已知
\( \mathrm{AC} \) 和 \( \mathrm{BD} \) 是圆的弦，它们互相平分。
要求
我们必须证明：
(i) \( \mathrm{AC} \) 和 \( \mathrm{BD} \) 是直径
(ii) \( \mathrm{ABCD} \) 是矩形。
解答
(i) 设 $AC$ 和 $BD$ 是一个圆的两条弦，它们在 $P$ 点互相平分。
在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COD$ 中，
$OA = OC$ ($O$ 是 $AC$ 的中点)
$\angle AOB = \angle COD$ (对顶角)
$OB = OD$ ($O$ 是 $BD$ 的中点)
因此，根据 SAS 全等，
$\triangle CPD \cong \triangle APB$
这意味着，
$\overparen{C D}=\overparen{A B}$.........(i) (全等三角形对应边相等)
类似地，
在 $\triangle APD$ 和 $\triangle CPB$ 中，我们得到，
$\overparen{C B}=\overparen{A D}$.........(ii) (全等三角形对应边相等)
将 (i) 和 (ii) 相加，我们得到，
$\overparen{C D}+\overparen{C B}=\overparen{A B}+\overparen{A D}$
$\overparen{B C D}=\overparen{B A D}$
因此，
$BD$ 将圆分成两等份。
这意味着，
$BD$ 是直径。
类似地，
$AC$ 是直径。
(ii) $AC$ 和 $BD$ 互相平分。
这意味着，
$ABCD$ 是平行四边形，并且
$AC = BD$
因此，
$ABCD$ 是矩形。
证毕。
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