$O$是两条相等弦$AB$和$CD$的交点，且$OB=OD$，则证明$\vartriangle OAC$和$\vartriangle ODB$相似。"\n

已知：在图中，$O$是两条相等弦$AB$和$CD$的交点，且$OB = OD$。

求证：证明$\vartriangle OAC$和$\vartriangle ODB$相似。

解： 

已知当圆内两条弦相交时，它们的线段乘积总是相等的。

$\Rightarrow  AO.OB=CO.OD$

$\Rightarrow  AO=CO$    ( \because OB=OD)$

在$\vartriangle AOC$中，

$\angle ACO+\angle AOC+\angle CAO=180^o$

$\Rightarrow 2\angle ACO+45^o=180^o \Rightarrow  \angle ACO=67.5^o$       $(\because\ AO=OC)$

在$\vartriangle BOD$中，

$\angle BOD=\angle COA=45^o$    $( 对顶角)$

$\angle BDO+\angle BOD+\angle DOB=180^o$

$\Rightarrow 2\angle BDO+45^o=180^o \Rightarrow  \angle BDO=67.5^o$

在$\vartriangle AOC$和$\vartriangle BOD$中

$\angle ACO=\angle BDO$      $( 已证)$

$\angle BOD=\angle COA$      $( 对顶角)$

因此，根据$AA$相似性， 

$\vartriangle AOC\sim \vartriangle BOD$

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更新于: 2022年10月10日

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