两个半径分别为 5 cm 和 3 cm 的圆相交于两点，且圆心之间的距离为 4 cm。求公共弦的长度。

已知

两个圆的半径分别为 5 cm 和 3 cm。

圆心之间的距离为 4 cm。

要求

我们要求出公共弦的长度。

解： 

在上图中，

$AO=5\ cm, BO=3\ cm$

$AB = 4\ cm, AC = x, BC = 4-x$。

$OD$ 是两个圆的公共弦。

我们要求出公共弦 $OD$ 的长度。

我们知道，

弦的垂直平分线经过圆心。

所以，$OC = CD$ 且 $\angle ACO =\angle BCO = 90^o$。

在 $\triangle ACO$ 中，

$AO^2 = AC^2+CO^2$

$5^2 =x^2+CO^2$

$CO^2 = 5^2-x^2$

$CO^2=25-x^2$.............(i)

在 $\triangle BCO$ 中，

$BO^2 = BC^2+CO^2$

$3^2=(4-x)^2+CO^2$

$CO^2=3^2-(4-x)^2$

$CO^2 = 9-16+8x-x^2$.........(ii)

联立 (i) 和 (ii)，得到，

$25-x^2= 9-16+8x-x^2$

$25 = -7+8x$

$8x = 25+7$

$8x=32$

$x = \frac{32}{8}=4$

将 $x=4$ 代入 (i)，

$CO^2=25-4^2$

$CO^2=25-16$

$CO^2=9$

$CO=3$

我们知道，

$CO=CD=3$。

$OD=OC+CD=3+3=6$

$OD=6\ cm$。

因此，公共弦的长度为 6 cm。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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