两个全等圆相交于点$\mathrm{A}$和$\mathrm{B}$。过$\mathrm{A}$作任意线段$\mathrm{PAQ}$，使得$\mathrm{P}, \mathrm{Q}$分别在两个圆上。证明$\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}$。

已知： 

两个全等圆相交于点$\mathrm{A}$和$\mathrm{B}$。过$\mathrm{A}$作任意线段$\mathrm{PAQ}$，使得$\mathrm{P}, \mathrm{Q}$分别在两个圆上。

要求： 

我们必须证明$\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}$。

解答

假设两个圆相交，如下图所示。

我们知道，

等弦所对的圆周角相等。

因此，

$AB$是两个全等圆的公共弦

这意味着，

$\angle APB = \angle AQB$

在$\triangle BPQ$中，

$\angle APB = \angle AQB$

我们知道，

三角形中，等角对等边。

这意味着，

$BQ = BP$

证毕。

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更新于： 2022年10月10日

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