平行四边形$\mathrm{ABCD}$ 的三个顶点为 $(6,1), \mathrm{B}(8,2)$ 和 $\mathrm{C}(9,4)$。如果 $\mathrm{E}$ 是 $\mathrm{DC}$ 的中点，求 $\Delta \mathrm{ADE}$ 的面积。

已知

$A (6, 1), B (8, 2)$ 和 $C (9, 4)$ 是平行四边形 $ABCD$ 的三个顶点。

$E$ 是 $DC$ 的中点。

要求

我们必须找到 $\triangle ADE$ 的面积。

解

设平行四边形的第四个顶点为 (x, y)。

我们知道，平行四边形的对角线互相平分。

连接点$(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 的线段的中点为$(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})$

$\mathrm{BD}$ 的中点 = $\mathrm{AC}$ 的中点

$\Rightarrow (\frac{8+x}{2}, \frac{2+y}{2})$

$=(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2})$

$\Rightarrow (\frac{8+x}{2}, \frac{2+y}{2})=(\frac{15}{2}, \frac{5}{2})$

比较可得，

$\frac{8+x}{2}=\frac{15}{2}$

$\Rightarrow 8+x=15$

$\Rightarrow x=15-8=7$

$\frac{2+y}{2}=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow 2+y=5$

$\Rightarrow y=5-2=3$

平行四边形的第四个顶点是 $\mathrm{D}(7,3)$。

边 $\mathrm{DC}$ 的中点为$(\frac{7+9}{2}, \frac{3+4}{2})$

$E=(8, \frac{7}{2})$

顶点为$(x_{1}, y_{1}),(x_{2}, y_{2})$ 和 $(x_{3}, y_{3})$ 的 $\Delta \mathrm{ABC}$ 的面积为$\frac{1}{2}[x_{1}(y_2-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$。

这意味着，

顶点为 $\mathrm{A}(6,1), \mathrm{D}(7,3)$ 和 $\mathrm{E} (8, \frac{7}{2})$ 的 $\Delta \mathrm{ADE}$ 的面积

$=\frac{1}{2}[6(3-{7}{2})+7(\frac{7}{2}-1)+8(1-3)]$

$=\frac{1}{2}[6 \times(\frac{-1}{2})+7(\frac{5}{2})+8(-2)]$

$=\frac{1}{2}(-3+\frac{35}{2}-16)$

$=\frac{1}{2}(\frac{35}{2}-19)$

$=\frac{1}{2}(\frac{-3}{2})$

$=\frac{-3}{4}$

面积不能为负。

因此，$\Delta \mathrm{ADE}$ 的面积为 $\frac{3}{4}$ 平方单位。 

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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